별과 정리 · 제9장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

정다면체는 다섯뿐

The Five Platonic Solids

더 만들 수 없다 — 각의 합이 막는다

정삼각형을 모아 입체를 만들어 보세요

종이로 정삼각형 여러 개를 오려 꼭짓점 하나에 3장, 4장, 5장을 붙여 입체를 만듭니다. 6장을 붙이면 입체가 되지 않고 평평해집니다.

정사각형은 3장, 정오각형도 3장만 붙일 수 있습니다. 왜 우주에는 정다면체가 오직 다섯 가지밖에 없을까요?

이야기

기원전 4세기 아테네. 플라톤은 『티마이오스』에서 이 다섯 입체에 세상의 재료를 하나씩 배당했습니다. 불은 뾰족하니 정사면체, 흙은 안정되니 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 잘 굴러가니 정이십면체. 그리고 남은 정십이면체에는 우주 전체를 맡겼습니다.

이천 년 뒤 케플러도 같은 유혹에 빠집니다. 1596년 그는 행성 여섯 개의 궤도 사이에 정다면체 다섯을 차례로 끼워 넣은 모형을 만들어 책으로 냈습니다. 다섯 입체와 여섯 궤도 — 수가 딱 맞았기 때문입니다.

그런데 실제 관측과는 맞지 않았습니다. 케플러는 그 아름다운 모형을 끝내 버리고 타원 궤도로 갔습니다. 아름다운 것을 포기한 그 자리에서 근대 천문학이 시작됩니다.

여섯째 정다면체가 없는 까닭은 뜻밖에 쉽습니다. 한 꼭짓점에 면이 모이려면 적어도 셋이 모여야 하고, 그 각을 다 더한 것이 360도보다 작아야 합니다.

360도가 되면 납작하게 펴져 버리고 넘으면 아예 접히지 않기 때문입니다. 정삼각형(60도)은 셋·넷·다섯까지 되고, 정사각형(90도)과 정오각형(108도)은 셋까지만 됩니다. 정육각형은 120도라 셋만 모아도 딱 360도가 되어 납작해집니다. 그래서 다섯에서 끝납니다.

오늘 이것이 하는 일

주사위가 왜 그 다섯 모양뿐인지가 여기 있습니다. 모든 면이 똑같아야 공정한데, 그런 입체는 다섯 개밖에 없습니다.

바이러스의 껍질이 정이십면체 모양인 것도 가장 적은 종류의 부품으로 가장 크게 감싸는 방법이기 때문입니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

정다면체를 만들어 본다

정삼각형, 정사각형, 정오각형 종이 조각을 모아 공 모양의 입체를 조립해 봅니다. 입체 모서리가 접히려면 꼭짓점에 모인 각도의 합이 360도보다 작아야 합니다.

정삼각형으로 3개(정사면체, 정팔면체, 정이십면체), 정사각형으로 1개(정육면체), 정오각형으로 1개(정십이면체)를 만들고 나면 더 이상 만들 수 있는 모양이 없습니다.

정다면체를 세어 보세요

한 꼭짓점에 모이는 정삼각형 개수 슬라이더를 3개부터 6개까지 늘려 본다

가능한가 —1/p+1/q —넘어야 할 값 —

면의 변 수 p — 3

한 꼭짓점에 — 3

정삼각형 5개(300°)까지는 뾰족하게 솟아 상자가 닫히는데, 그런데 6개(360°)가 되는 순간 완전히 납작해져 지붕이 무너진다
여섯 장을 붙이는 순간 바닥에 착 붙어버려 지붕을 세울 수가 없다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

왜 여섯째가 없나

한 꼭짓점에는 적어도 면 3개가 모여야 입체 모서리가 솟아오릅니다. 정삼각형 한 각은 60도이므로 3개(180도), 4개(240도), 5개(300도)는 입체가 되지만 6개는 360도로 평면이 됩니다.

정사각형(90도)은 3개(270도), 정오각형(108도)은 3개(324도)만 가능하고 정육각형(120도)은 3개만 모여도 360도가 되어 입체가 되지 않습니다. 각도의 합 조건 때문에 딱 다섯뿐입니다.

꼭짓점·모서리·면

정 p각형이 한 꼭짓점에 q개 모이는 (p, q) 조합을 돌리며 1/p + 1/q > 1/2 부등식 막대를 비교한다

꼭짓점 V —모서리 E —면 F —

몇 번째 — 1

자연수 조합 (p,q)를 아무리 다양하게 만들어보려 해도, 그런데 1/p + 1/q > 1/2을 만족하는 정수 쌍은 (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) 딱 다섯 개 말고는 수학적으로 단 하나도 존재할 수 없다
분수 덧셈 부등식을 풀면 정답이 지구상에 딱 다섯 쌍밖에 안 나온다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

오일러 공식으로 증명

오일러 다면체 정리 로 대수적 증명이 가능합니다. 각 면이 정 각형이고 한 꼭짓점에 개 면이 모이면 입니다.

이를 대입하면 즉 가 됩니다. 인 정수해 순서쌍 는 의 다섯 쌍뿐입니다.

각의 합으로 따져 보세요

정육면체(V=8, F=6)의 각 면 중심을 연결하여 내부에서 정팔면체(V=6, F=8)가 자라나게 슬라이더를 민다

모인 각의 합 —한 각 —360 미만인가 —

면의 변 수 — 5

한 꼭짓점에 — 3

전혀 다른 다면체인 줄 알았는데, 그런데 면의 중심을 이었더니 꼭짓점 수와 면 수가 완벽하게 뒤바뀌며 정확한 쌍대 다면체가 껍질 속에서 태어난다
정육면체의 면마다 점을 찍어 연결하면 정팔면체가 알처럼 쏙 튀어나온다

대학 — 어디까지 가나

대칭군

플라톤 다면체의 대칭성은 3차원 유한 회전군인 사면체군(), 팔면체군(), 이십면체군()으로 분류됩니다. 정육면체와 정팔면체, 정십이면체와 정이십면체는 서로 면과 꼭짓점을 맞바꾼 쌍대(Dual) 관계입니다.

이 분류는 결정학(Crystallography), 풀러렌() 분자 구조, 그리고 4차원 정다면체(6종)와 리 대수(Lie algebra)의 대칭성으로 이어집니다.

4 차원에서는 여섯

차원을 4차원으로 올려 슐레플리 기호 {p, q, r} 조합을 탐색한다

정다포체 수 —차원 —3 차원이면 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

차원 d — 2

견줄 자리 db — 8

3차원에선 5개였는데 4차원에선 6개가 되고, 그런데 5차원 이상으로 올라가면 차원이 아무리 높아져도 정다포체가 무조건 딱 3개(정단체, 초입방체, 정축체)로 고정된다
차원이 5차원, 6차원, 100차원으로 올라가면 정다면체 종류가 딱 3개로 얼어붙는다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

정이십면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수. 정삼각형 20개로 둘러싸인 정이십면체에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 면의 개수 를 구하시오.
(2) 한 면에 변이 3개씩 있고 모서리 하나당 면 2개가 만나므로, 모서리의 개수 의 값을 구하시오.
(3) 오일러 공식 를 이용하여 꼭짓점의 개수 를 구하시오.
(4) 한 꼭짓점에 모이는 정삼각형 면의 개수를 구하시오.

(3) 에서 이고, (4) 꼭짓점당 5개씩 모입니다.

답과 풀이 보기

(1) (정삼각형 20개)

(2) 면마다 변이 3개이니 변을 다 세면 인데, 모서리 하나를 두 면이 함께 쓰므로

(3) 에서 이므로

(4) 꼭짓점을 다 세면 인데 꼭짓점이 12개이므로 한 꼭짓점에 개의 면이 모입니다.
정삼각형 다섯이면 각의 합이 — 아슬아슬하게 접힙니다. 여섯이면 360°가 되어 납작해지므로 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체는 여기서 끝납니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

중1-2 04 다면체와 회전체

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

각기둥과각뿔초6 직육면체초5

더 멀리

정다면체는 장식이 아니라 자연과 기술 곳곳에 있습니다.

주사위 — 어느 면이 나올 확률이 똑같으려면 정다면체여야 합니다. 그래서 4·6·8·12·20면체 주사위가 있습니다
바이러스 — 여러 바이러스의 껍질이 정이십면체입니다. 같은 부품으로 튼튼한 껍질을 만드는 가장 알뜰한 방법입니다
결정과 분자 — 소금 결정은 정육면체, 여러 분자가 정사면체 꼴입니다

이어지는 장

꼭짓점의 각도 조건으로 정다면체가 다섯뿐임을 밝혔던 고대의 질문은, 꼭짓점·모서리·면 사이의 간단한 셈 하나로 우아하게 다시 풀립니다 — 제59장에서 같은 사실을 다른 눈으로 증명해 보세요.

이어지는 자료

중1 · 입체도형_겉넓이와부피 — 상자 만들기 — 담는 양과 종이 값만지는수학 중1 입체도형의성질 단원살아있는수학교과서

영감을 받은 곳

기원전 300년경 유클리드가 저술한 『원론』 제13권의 마지막 정리(명제 18)에서 정다면체가 다섯 개뿐임을 기하학적으로 완벽히 증명했습니다.