오일러의 다면체 공식
주사위를 세면 늘 2가 됩니다
주사위나 상자를 하나 들고 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 차례대로 세어 보세요. 꼭짓점 8개, 모서리 12개, 면 6개입니다.
꼭짓점에서 모서리를 빼고 면을 더해 보세요. 가 나옵니다. 삼각기둥이나 각뿔, 축구공 모양으로 해 보아도 신기하게 늘 2가 됩니다. 세상 모든 입체도형에 왜 똑같은 수가 숨어 있을까요?
이야기
Jakob Emanuel Handmann
Public domain · 위키미디어 공용
1750년 11월, 상트페테르부르크. 마흔셋의 레온하르트 오일러가 베를린에 있는 친구 골드바흐에게 편지를 씁니다. 「입체를 아무리 살펴봐도 이 관계가 깨지지 않습니다.」 그는 정다면체와 각뿔과 각기둥을 하나하나 세어 보고 있었습니다.
그런데 그가 붙인 증명은 사실 허술했습니다. 「면을 하나씩 떼어 내면 된다」는 정도였고, 어떤 입체에는 그 말이 통하지 않습니다. 제대로 된 증명은 예순 해 뒤 코시가 붙였습니다. 게다가 오일러보다 백 년 앞서 데카르트가 같은 것을 적어 둔 공책이 뒤늦게 발견되었습니다.
왜 늘 2일까요. 다면체를 고무풍선이라 생각하고 한 면을 뜯어 평평하게 눌러 보십시오. 평면 위의 그물이 됩니다. 그 그물에서 삼각형이 아닌 칸에 대각선을 긋고 바깥부터 한 조각씩 지워 나가면 마지막에 삼각형 하나가 남는데, 지우는 동안 꼭짓점−모서리+면 값이 한 번도 변하지 않기 때문입니다.
남은 삼각형은 3−3+1 = 1. 여기에 맨 처음 뜯어낸 한 면을 도로 세면 2입니다. 그래서 어떤 다면체든 2인 것입니다.
⭐ 이 식 하나로 정다면체가 다섯뿐인 것도 증명됩니다.
3D 모델이 성한지 검사하는 식입니다. 꼭짓점−모서리+면이 맞지 않으면 그 모델은 어딘가 뚫려 있거나 겹쳐 있습니다.
3D 프린터와 게임 엔진이 실제로 이 값을 계산해 모델을 걸러 냅니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
주사위·상자를 세어 본다
주변에 있는 사각기둥, 삼각기둥, 사각뿔을 관찰하며 뾰족한 점(꼭짓점), 반듯한 선(모서리), 납작한 면의 개수를 적어 봅니다.
사각뿔은 꼭짓점 5, 모서리 8, 면 5로 입니다. 오각기둥은 입니다. 어떤 다면체를 가져와 셈을 해도 꼭짓점 − 모서리 + 면 = 2가 되는 규칙을 눈으로 찾아보세요.
꼭짓점·모서리·면을 세어 보세요
어떤 다면체든 언제나 2 입니다.
여러 다면체로 확인·정다면체가 다섯뿐인 까닭
다면체를 고무풍선이라고 생각하고 면 하나를 뚫어 평면에 납작하게 펼쳐 누르면 점과 선으로 이루어진 그물(평면 그래프)이 됩니다.
이 그물에서 면을 가르는 모서리를 하나 지우면 모서리와 면이 함께 1씩 줄어들어 값은 변하지 않습니다. 끝에 달린 꼭짓점과 모서리를 함께 지워도 변함이 없습니다. 마지막에 삼각형 하나가 남을 때까지 계산값은 언제나 2로 일정합니다.
정다면체는 다섯뿐입니다
그래서 정다면체는 영원히 다섯 개입니다.
평면그래프로 옮겨 증명
이 공식으로 정다면체가 왜 오직 5개뿐인지 완벽히 증명할 수 있습니다. 한 면이 정각형이고 한 꼭짓점에 개의 면이 모인다면 , 가 성립합니다.
오일러 공식에 대입하면 가 되어 라는 부등식을 얻습니다. 을 만족하는 정수해 순서쌍 은 의 정확히 다섯 가지만 존재합니다.
구멍을 뚫어 보세요
이 수는 모양을 아무리 주물러도 안 바뀝니다 — 위상수학의 시작입니다.
오일러 표수와 위상
값 를 오일러 표수(Euler Characteristic)라 부르며, 도형의 길이와 각도가 뒤틀려도 보존되는 가장 본질적인 위상 불변량(Topological Invariant)입니다.
구와 위상동형인 곡면은 표수가 2이지만, 도넛(토러스)은 구멍이 1개 있어 표수가 0이 되고, 구멍이 개인 곡면은 가 됩니다. 가우스-보네(Gauss-Bonnet) 정리를 통해 곡률의 적분과 오일러 표수가 결합하며 현대 미분위상수학의 정점을 이룹니다.
평면 그래프의 한계
그래서 K₅ 는 평면에 그릴 수 없습니다.
풀어 보기
다면체의 면과 꼭짓점. 모든 면이 오각형 또는 육각형으로만 이루어지고, 각 꼭짓점에는 정확히 3개의 모서리가 모이는 닫힌 다면체가 있다.
(1) 면의 개수를 , 모서리의 개수를 , 꼭짓점의 개수를 라 할 때, 오일러 공식을 쓰시오.
(2) 오각형 면의 개수를 , 육각형 면의 개수를 이라 할 때, 오각형 면의 개수 는 육각형의 개수와 무관하게 항상 12개임을 증명하시오.
(3) 축구공(깎은 정이십면체)처럼 육각형 면이 20개일 때, 꼭짓점의 개수와 모서리의 개수를 각각 구하시오.
(2) , 를 오일러 공식에 넣고 정리하면 가 나옵니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다. 구멍이 없는 다면체라면 모양과 상관없이 늘 2 입니다.
(2) 두 가지를 두 번씩 세어 놓고 시작합니다.
· 모서리 하나는 면 두 개가 나누어 가집니다 →
· 모서리 하나는 꼭짓점 두 개를 잇고, 꼭짓점마다 3 개가 모입니다 →
이제 을 오일러 공식에 넣습니다.
양변에 6 을 곱하고 을 넣으면
이 깨끗이 사라집니다. 육각형이 몇 개든 오각형은 반드시 12 개입니다.
(3) 이면 ,
,
입니다. 확인하면 로 맞습니다.
축구공의 흰 오각형이 왜 늘 12 개인지 세어 본 적이 있으신가요. 공을 크게 만들어도, 육각형을 아무리 늘려도 12 개에서 꼼짝하지 않습니다. 탄소로 만든 축구공 (풀러렌)도 오각형이 정확히 12 개입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이 공식은 위상수학의 문이었습니다.
- 도넛에서는 0 — 구멍이 하나면 값이 2가 아니라 0입니다. 구멍 수를 세는 잣대가 됩니다
- 컴퓨터 그래픽 — 삼각형 그물의 정합성을 검사할 때 씁니다
- 축구공 — 오각형이 정확히 12개인 까닭도 이 공식으로 나옵니다
이어지는 장
다면체의 면 하나를 뜯어내고 평면에 꾹 눌러 펼치면 쾨니히스베르크의 다리 그림과 똑같은 평면 네트워크가 됩니다 — 제6장 에서 시작된 오일러의 위상수학적 통찰이 입체 다면체로 확장되는 멋진 장면을 함께 보세요.
영감을 받은 곳
레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 1752년 상트페테르부르크 학술원에 제출한 논문 「입체 도형의 성질에 관한 고찰」(Elementa doctrinae solidorum)에서 처음 공식으로 체계화했습니다.