종이는 몇 번 접히나
종이를 여덟 번 접어 보세요
신문지나 커다란 전지 한 장을 펼쳐 반으로 접어 보세요. 또 반으로, 다시 반으로 계속 접어 나갑니다.
일곱 번까지는 어떻게든 접히지만 그 다음은 손으로 누를 수조차 없습니다. 아무리 큰 종이를 가져와도 여덟 번 이상 접는 것은 불가능할까요?
이야기
종이를 반으로 접고, 또 반으로 접어 보세요. 여덟 번쯤에서 더 못 접습니다. 힘이 모자라서가 아닙니다.
접을 때마다 두께는 두 배가 됩니다. 그런데 접히는 부분은 그냥 꺾이는 게 아니라 둥글게 감깁니다. 그 둥근 부분에 종이가 들어가야 하는데, 두께가 두 배씩 늘어나니 필요한 길이도 무섭게 늘어납니다.
2002년, 미국 고등학생 브리트니 갤리번이 필요한 길이를 나타내는 식을 만들고, 아주 긴 화장지로 열두 번 접어 보였습니다. 그때까지 「일곱 번이 한계」라고 믿던 말이 깨졌습니다.
한편 접지 못하더라도 두께를 셈해 보는 것은 누구나 할 수 있습니다. 0.1밀리미터 종이를 마흔두 번 접으면 두께가 달에 닿습니다. 믿기지 않으면 계산기를 두드려 보세요. 는 약 4조 4천억입니다.
접을수록 어려워지는 까닭은 두 가지가 동시에 나빠지기 때문입니다. 한 번 접을 때마다 두께는 두 배가 되는데, 접을 수 있는 길이는 절반보다 더 줄어듭니다. 접힌 자리에서 종이가 둥글게 말리며 길이를 잡아먹기 때문입니다.
2002년 고등학생 브리트니 갤리번이 이 관계를 식으로 세우고, 긴 화장지를 써서 열두 번 접어 보였습니다.
접어서 펴는 물건의 설계에 쓰입니다. 두께가 쌓이면 더 못 접힌다는 한계를 계산해야 합니다.
인공위성의 태양전지판, 우주망원경의 거울, 자동차 에어백이 모두 「어떻게 접어 넣고 어떻게 펼 것인가」를 이 수학으로 풉니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
직접 접어 본다
종이를 한 번 접으면 두 겹, 두 번 접으면 네 겹이 됩니다. 접을 때마다 두께가 2배씩 늘어납니다.
종이를 직접 손으로 접어 보세요. 세 번 접으면 8겹, 네 번이면 16겹, 일곱 번 접으면 128겹이 됩니다. 종이가 너무 두꺼워지고 접히는 모서리가 당겨져서 더 이상 손 힘으로 접히지 않는 것을 보게 됩니다.
종이를 접어 보세요
손바닥만 한 종이를 마흔두 번 접었더니 달나라까지 닿는 사다리가 된다
두께가 두 배씩
종이를 번 접으면 두께는 처음의 배가 됩니다. 보통 종이 두께가 0.1밀리미터일 때, 10번 접으면 약 10센티미터, 20번 접으면 약 100미터가 됩니다.
접는 횟수가 늘어날 때마다 접히는 부분의 바깥쪽 종이가 늘어나야 하는 길이가 급격히 커집니다. 두께가 종이의 가로세로 길이와 비슷해지면 물리적으로 더 접을 수 없게 됩니다.
왜 못 접을까요
종이를 12번 접으려면 종이 길이가 4킬로미터나 길어야 해서 교실에서는 절대 못 접는다
필요한 길이의 식
고등학생 브리트니 갤리번은 같은 방향으로 종이를 번 접을 때 필요한 종이의 최소 길이 에 대한 공식을 유도했습니다.
종이 두께를 라 할 때, 이 성립합니다. 갤리번은 1.2킬로미터 길이의 얇은 화장지를 준비하여 이 공식에 따라 실제로 12번 접는 데 성공했습니다.
반대로 잘라 보세요
종이를 백세 번만 반으로 접으면 온 우주 끝까지 닿고도 남는다
재료와 극한
종이 접기 한계 문제는 연속체 역학(Continuum Mechanics)과 탄성 변형률(Strain Energy)의 수학적 극한 모델에 해당합니다. 굽힘 반지름이 감소함에 따라 재료 외곽의 인장 응력과 내부 압축 응력이 재료의 파단 한계를 초과하게 됩니다.
이 기하학적 모델링은 인공위성 태양전지판을 작게 접어 로켓에 실은 뒤 우주에서 펼치는 미우라 접기(Miura-ori) 및 전자기기 폴더블 디스플레이의 힌지 설계에 핵심적으로 응용됩니다.
지수가 얼마나 무서운가
종이 한 장이 백 번 남짓이면 우주를 넘습니다.
풀어 보기
종이의 두께와 거듭제곱. 두께가 0.1 mm 인 종이가 있다.
(1) 이 종이를 번 접었을 때의 겹 수를 거듭제곱 꼴로 나타내시오.
(2) 이 종이를 10번 접었을 때의 전체 두께를 mm 및 cm 단위로 구하시오.
(3) 이 종이를 30번 접었을 때의 두께를 계산하고, 임을 이용하여 두께가 대략 몇 km 에 해당하는지 어림하시오.
(3) 0.1 mm × 2³⁰ = 0.1 mm × (2¹⁰)³ ≈ 0.1 mm × 10⁹ = 10⁸ mm = 100 km 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 한 번 접을 때마다 겹이 두 배이므로 겹입니다.
(2)
(3) 이므로
(정확히 셈하면 약 107 km)
그런데 실제로는 여덟 번 남짓밖에 못 접습니다. 접을 때마다 굽는 자리가 두께만큼 필요해져서, 겹이 늘수록 그 손해가 눈덩이처럼 커지기 때문입니다. 셈이 되는 것과 손으로 되는 것은 다릅니다.
더 멀리
「두 배씩 늘어나기」는 사람의 직관이 가장 자주 지는 곳입니다.
- 이자와 빚 — 조금씩 붙는 것 같아도 두 배씩 늘면 금세 감당 못 합니다
- 전염병 — 한 사람이 두 사람에게 옮기면 며칠 만에 폭발합니다
- 저장 용량·연산 속도 — 기술이 몇 해마다 두 배가 되는 것을 같은 식으로 셉니다
이어지는 장
물리적인 두께 탓에 현실에서는 여덟 번을 넘기기 힘든 종이 접기이지만, 이론적으로 두 배씩 불어나는 거듭제곱의 폭발력을 생각하면 마흔두 번 접어 달까지 닿는 상상이 펼쳐집니다 — 제22장에서 지수적 증가의 아득한 크기를 가늠해 보세요.
영감을 받은 곳
2002년 미국의 고등학생 브리트니 갈리번(Britney Gallivan)이 단방향 종이 접기 한계 공식을 유도하고, 긴 종이를 12번 접는 데 성공하여 기존의 상식을 깬 실험 연구에서 비롯되었습니다.