는 분수가 아니다
대각선을 자로 재 보세요
한 변이 10센티미터인 정사각형을 반듯하게 그리고 대각선 양 끝을 자로 대어 길이를 재어 보세요. 14.1센티미터보다 조금 길고 14.2센티미터보다는 짧습니다.
더 가는 눈금의 자를 가져와 아무리 돋보기로 들여다보아도 소수점 아래 숫자가 끝없이 이어지며 딱 떨어지지 않습니다. 왜 자로 반듯하게 그은 선인데도 분수로 똑 떨어지게 적을 수 없을까요?
이야기
기원전 5세기, 피타고라스 학파의 믿음은 「모든 것은 수다」였습니다. 여기서 수란 정수와 정수의 비를 뜻했습니다. 세상의 모든 길이가 두 정수의 비로 적힌다고 믿었습니다.
그런데 그 믿음을 깬 것이 하필 자기들의 정리였습니다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선 — 피타고라스 정리로 곧장 나오는 그 길이가 어떤 분수로도 적히지 않았던 것입니다. 이것을 밖에 발설한 히파소스가 바다에 던져졌다는 이야기가 전해집니다. 사실인지는 알 수 없습니다.
왜 분수가 될 수 없을까요. 더 이상 약분되지 않는 분수 p/q로 적혔다고 해 봅시다. 제곱하면 2q² = p²이 됩니다. 그러면 p²이 짝수이고, 제곱해서 짝수가 되는 수는 짝수뿐이므로 p도 짝수입니다.
p = 2k로 놓고 넣으면 2q² = 4k², 곧 q² = 2k²입니다. 같은 이유로 q도 짝수입니다.
그런데 p와 q가 둘 다 짝수라면 2로 약분할 수 있습니다. 「더 이상 약분되지 않는다」고 해 놓고 시작했으니 앞뒤가 맞지 않습니다. 그래서 그런 분수는 처음부터 없었던 것입니다.
히파소스가 던져졌다는 곳도 배 위였다고 전해집니다. 학파 사람들과 함께 항해하던 중이었다는 것입니다. 다만 이 이야기는 여러 갈래로 전해지고 어느 것이 사실인지 알 수 없습니다. 확실한 것은 그 뒤로 그리스 수학이 수에서 도형 쪽으로 기울었다는 것뿐입니다. 분수로 안 되는 길이를 다루려면 그럴 수밖에 없었습니다.
A4 용지가 이 비율입니다. 가로세로가 라서 반으로 접어도 모양이 같습니다.
그래서 A4를 반으로 접으면 A5, 두 장을 이으면 A3 — 종이를 낭비 없이 나눌 수 있습니다. 세계 대부분의 나라가 쓰는 규격입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
정사각형 대각선을 자로 재 본다
한 변이 1인 정사각형의 대각선 위에 정사각형을 하나 더 얹어 봅니다. 큰 정사각형의 넓이는 원래 정사각형 두 개를 합친 것과 같아 정확히 2가 됩니다.
넓이가 2인 정사각형의 한 변 길이는 얼마일까요? 1을 곱하면 1이고 2를 곱하면 4가 되니 1과 2 사이의 어떤 수입니다. 1.4를 제곱하면 1.96, 1.41을 제곱하면 1.9881처럼 2에 끝없이 다가가지만 결코 딱 2가 되는 분수는 찾을 수 없습니다.
분수로 맞춰 보세요
어떤 분수를 넣어도 절대 2 가 되지 않습니다.
1.414… 가 끝나지 않는 것
만약 대각선 길이 가 분수 (더 이상 약분되지 않는 기약분수)로 나타낼 수 있다면 어떤 일이 벌어질까요?
양변을 제곱하여 정리하면 이 됩니다. 이것은 이 짝수라는 뜻이므로 도 짝수여야 합니다. 로 바꾸어 대입하면 , 곧 이 되어 마저 짝수가 됩니다. 분모와 분자가 둘 다 짝수이면 기약분수라는 처음에 어긋납니다. 그래서 분수가 될 수 없습니다.
짝수·홀수로 따져 보세요
둘 다 짝수라면 이미 약분했다는 가정과 어긋납니다 — 그래서 불가능합니다.
귀류법으로 무리수 증명
이 증명은 결론을 부정하여 모순을 이끌어내는 귀류법(Proof by Contradiction)의 가장 대표적인 본보기입니다. 유리수체 위에서 다항방정식 은 유리수 해를 갖지 않습니다.
유리수 계수 다항식의 근이 되는 수를 대수적 수(Algebraic number)라 부르며, 는 차수가 2인 대수적 무리수입니다. 수직선 위에 유리수만으로는 빈틈이 생기며, 무리수가 채워져야 비로소 연속적인 실수 직선이 완성됩니다.
연분수로 다가가 보세요
되풀이가 끝나지 않는다는 것이 곧 무리수라는 뜻입니다.
대수적 수와 초월수
피타고라스 학파의 통약 불가능성(Incommensurability) 발견은 기하학 중심의 그리스 수학을 낳았습니다. 19세기 데데킨트의 절단(Dedekind cut)과 칸토어의 코시 수열 완비화는 무리수를 엄밀한 공리계 위에 세웠습니다.
와 같은 대수적 수들의 집합 은 가산 무한 집합인 반면, 다항식의 근조차 되지 못하는 초월수(Transcendental number)는 비가산 무한이어서 실수의 거의 대부분을 차지합니다.
얼마나 잘 다가갈 수 있나
그보다 훨씬 잘 다가가지는 수는 초월수 — π 와 e 가 그렇습니다.
풀어 보기
정사각형 대각선의 길이와 무리수. 한 변의 길이가 인 정사각형의 대각선 길이를 라 하자.
(1) 피타고라스 정리를 이용하여 가 만족하는 이차방정식을 쓰시오.
(2) , 임을 이용하여 가 과 사이에 있음을 설명하시오.
(3) (단, 는 유리수)일 때, 이면 가 되어 유리수가 되는 모순이 발생한다. 이를 통해 임을 보이시오.
(1) , (3) 유리수와 무리수의 상등 성질에 의해 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 이므로 (단 ) 입니다.
(2) 제곱하면 대소가 그대로이므로 (양수끼리) 제곱한 값을 견줍니다.
그러므로 입니다.
⭐ 뿌리를 직접 재지 않고 제곱해서 견주었습니다. 더 좁히려면 · — 이렇게 한 자리씩 조여 갑니다 ().
(3) 이라 가정해 봅니다.
그러면 인데, 가 유리수이므로 오른쪽은 유리수입니다.
그런데 는 무리수입니다. 모순입니다.
그러므로 이어야 하고, 그것을 처음 식에 넣으면 .
⭐ 이것이 무리수의 상등입니다 — 이면 가 됩니다. 유리수 부분과 무리수 부분이 서로 섞이지 않습니다.
2,500 년 전 피타고라스 학파는 모든 것은 수의 비라 믿었습니다. 그런데 자기들이 가장 아끼던 정사각형의 대각선이 그 비로 쓰이지 않았습니다.
가장 단순한 도형이 가장 깊은 구멍을 냈습니다. 그 구멍을 메우는 데 2,000 년이 걸렸고, 그 끝에 실수가 태어났습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
수의 세계가 유리수보다 훨씬 넓다는 첫 신호였습니다.
- 무리수 — π, e 도 분수로 적을 수 없습니다
- 귀류법 — 「아니라고 가정하고 모순을 끌어내기」의 대표 예입니다
- A4 용지 — 가로세로 비가 라 반으로 접어도 모양이 같습니다
이어지는 장
피타고라스 정리가 낳은 가장 큰 충격은 직각삼각형 빗변의 길이인 가 어떤 정수 분수로도 적히지 않는다는 발견이었습니다 — 제17장 에서 이 길이의 출발점을 다시 짚어봅니다.
영감을 받은 곳
기원전 5세기 피타고라스학파(히파소스 전승)와 유클리드의 『원론』 제10권 명제 117(귀류법을 이용한 공통 척도 불가능 증명)에서 왔습니다.