별과 정리 · 제86장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

피타고라스 수

Pythagorean Triples

3·4·5 말고 또 어떤 것이 있나 — 무한히 많다

모눈종이로 직각 찾기

모눈종이에 가로 3칸, 세로 4칸짜리 직각삼각형을 그리고 빗변의 길이를 자로 재어 보세요. 정확히 5칸이 나옵니다.

이번에는 빗변이 6이나 7이 되는 정수 직각삼각형을 찾아보세요. 아무리 그려도 자연수로 딱 떨어지지 않습니다. 세 변의 길이가 모두 예쁜 자연수가 되는 직각삼각형은 얼마나 많이 숨어 있을까요?

이야기

그런데 이 수들의 목록은 피타고라스보다 천이백 년 앞서 존재했습니다. 기원전 1800년쯤의 바빌로니아 점토판 「플림프턴 322」에 열다섯 줄로 적혀 있습니다.

더 놀라운 것은 거기 적힌 수입니다. 3·4·5 같은 쉬운 것이 아니라 119·120·169나 4601·4800·6649 같은 큰 수들이 나옵니다. 우연히 찾은 것이 아니라 만드는 방법을 알고 있었다는 뜻입니다.

그 방법이 지금 우리가 쓰는 것과 같습니다. m과 n을 골라 m²−n², 2mn, m²+n²을 만드는 것입니다.

왜 언제나 맞을까요. 앞의 두 개를 제곱해 더해 보십시오. (m²−n²)²은 m⁴ − 2m²n² + n⁴이고, (2mn)²은 4m²n²입니다. 더하면 m⁴ + 2m²n² + n⁴이 됩니다.

그리고 이것은 정확히 (m²+n²)의 제곱입니다. 가운데 항의 부호가 빼기에서 더하기로 뒤집히기 때문에 딱 맞아떨어지는 것입니다. 그래서 어떤 m, n을 골라도 피타고라스 수가 나옵니다.

오늘 이것이 하는 일

현장에서 직각을 만드는 3·4·5 법입니다. 목수와 미장이가 줄자만으로 90도를 잡습니다.

집을 지을 때 기초의 모서리가 직각인지 확인하는 가장 빠른 방법이고, 지금도 건설 현장에서 그대로 씁니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

직각삼각형이 되는 수를 찾아본다

바둑돌로 정사각형을 만들어 보세요. 9개(3×3)와 16개(4×4)를 합치면 25개(5×5)짜리 정사각형 하나가 완벽하게 만들어집니다.

5, 12, 13 이나 8, 15, 17 도 마찬가지입니다. 이렇게 세 자연수가 을 만족하는 짝을 피타고라스 수라고 부릅니다.

직각을 만드는 세 수

두 수를 밀어 보세요.

a = m²−n² —b = 2mn —c = m²+n² —

m — 2

n — 1

m=2, n=1 → 3·4·5. m=3, n=2 → 5·12·13.
모든 피타고라스 수가 이 꼴입니다 — 유클리드가 찾았습니다.

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

만드는 공식

임의의 두 자연수 을 골라 , , 로 두면 항상 피타고라스 수가 됩니다.

실제로 식을 전개해 보면 이 되어 항등식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있습니다.

정말 맞는지 확인해 보세요

두 수를 밀어 보세요.

차이 —a²+b² —c² —

m — 3

n — 2

차이가 언제나 0 입니다 — (m²−n²)² + (2mn)² = (m²+n²)².
펼쳐 보면 양쪽이 똑같습니다.

고1 · 고2 — 넓혀 본다

모든 것을 다 만드는 법

의 최대공약수가 1인 원시 피타고라스 수(Primitive Pythagorean triples)는 이 서로소이고 기우성(홀짝)이 다를 때 완벽하게 생성됩니다.

이것은 단위원 위의 유리점 을 찾는 문제와 동치이며, 점 을 지나는 유리수 기울기 의 직선과의 교점으로 기하학적 매개화가 완성됩니다.

기본 수만 세어 보세요

한계를 밀어 보세요.

기본 수의 개수 —빗변 한계 —1/(2π) —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

빗변 한계 — 100

견줄 자리 cb — 4001

개수가 c/(2π) 에 다가갑니다 — 여기에도 π 가 있습니다.
100 이하면 16 개, 1000 이하면 158 개입니다.

대학 — 어디까지 가나

단위원의 유리점

가우스 정수환 에서 피타고라스 방정식은 으로 인수분해됩니다.

가 유클리드 정역(UFD)이므로 는 어떤 가우스 정수 에 단원을 곱한 꼴이어야 합니다. 유클리드의 고대 공식이 대수적 정수론의 소인수분해 유일성으로 필연적으로 유도되는 순간입니다.

원 위의 유리점

각을 밀어 보세요.

x = (1−t²)/(1+t²) —y = 2t/(1+t²) —t —

t (÷100) — 50

t 가 유리수면 (x,y) 도 유리수 — 그것을 통분하면 피타고라스 수입니다.
원 위의 유리점을 한 줄로 다 적는 방법입니다.

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

유클리드 공식과 피타고라스 수. 공식을 이용한다.

(1) 일 때 생성되는 피타고라스 세 수 를 구하고, 실제로 이 성립하는지 확인하시오.
(2) 이고 가 서로소인 원시 피타고라스 쌍을 구하시오.
(3) 원시 피타고라스 수에서 와 중 적어도 하나는 항상 3의 배수이고 4의 배수임을 증명하시오.

(2) 는 를 만족하는 서로소이고 홀짝이 다른 자연수 쌍을 찾으세요.

답과 풀이 보기

(1) · ·
확인 : — 맞습니다.

(2) 입니다.
를 만족하고 서로소이며 홀짝이 다른 쌍은 하나뿐입니다 ( 은 자연수 쌍이 아닙니다).

확인 : .

(3) 두 가지를 따로 보입니다.
· 3 의 배수 — 어떤 수의 제곱을 3 으로 나눈 나머지는 0 또는 1 뿐입니다. 만약 가 둘 다 3 의 배수가 아니면 인데, 은 2 가 될 수 없습니다. 그러므로 둘 중 하나는 3 의 배수입니다.
· 4 의 배수 — 원시 쌍에서 은 홀짝이 다르므로 둘 중 하나가 짝수이고, 그러면 이 짝수라 은 4 의 배수입니다.

는 4 도 3 의 배수 이웃도 다 갖췄고, 은 12 가 3 의 배수이자 4 의 배수입니다.
직각삼각형을 아무리 많이 그려도 이 성질에서 도망칠 수가 없습니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

중3-2 01 삼각비

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

제곱근과실수중3 삼각비중3

더 멀리

「정수 답만 찾기」는 정수론의 큰 갈래입니다.

디오판토스 방정식 — 정수 답을 찾는 방정식들입니다
단위원의 유리점 — 피타고라스 수는 원 위의 유리수 점과 같은 이야기입니다
페르마의 마지막 정리 — 지수를 3 이상으로 올리면 답이 사라집니다

이어지는 장

직각삼각형의 변을 재던 기하학적 정리가 수론의 세계에서 정수해 쌍으로 무한히 증식합니다 — 제17장 의 기하학이 수의 옷을 입고, 제84장 의 거대한 물음으로 건너갑니다.

이어지는 자료

중2 피타고라스정리 단원살아있는수학교과서 중3 · 삼각비 — 사다리·산 높이·삼각판 실물 삼각비 정밀 조작판만지는수학

영감을 받은 곳

유클리드의 『원론(Elements)』 제10권 명제 29의 보조정리에 원시 피타고라스 삼조를 생성하는 공식이 체계적으로 수록되어 있으며, 기원전 1800년경 고대 바빌로니아 점토판 플림톤 322(Plimpton 322)에도 기록되어 있습니다.