쌍둥이 소수
간격이 2인 소수 형제들
3과 5, 5와 7, 11과 13, 17과 19, 29와 31… 소수 둘이 나란히 2 차이로 붙어 있는 짝들이 있습니다.
이를 쌍둥이 소수(Twin primes)라고 부릅니다. 수가 커질수록 소수들은 점점 드물어지는데, 아무리 큰 수의 세계로 멀리 떠나도 차이가 2인 소수 형제들이 끝없이 계속 나타날까요?
이야기
VOA
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소수를 늘어놓아 보세요. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
가끔 2만큼만 떨어진 짝이 보입니다. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31). 이런 짝을 쌍둥이 소수라 합니다.
수가 커질수록 소수는 드물어집니다. 그런데도 쌍둥이 소수는 계속 나옵니다. 지금까지 찾은 가장 큰 것은 자릿수가 삼십만이 넘습니다.
그러면 쌍둥이 소수는 무한히 많을까요? 아무도 모릅니다.
2013년에 큰 진전이 있었습니다. 무명에 가깝던 수학자 장이탕이, 간격이 7천만 이하인 소수 짝이 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 2가 아니라 7천만이지만, 「어떤 유한한 수」로 묶었다는 것이 결정적이었습니다.
그 뒤 여럿이 힘을 모아 그 값을 246까지 줄였습니다. 2까지는 아직 멀지만, 무한히 벌어지지는 않는다는 것을 알게 되었습니다.
2013년, 쉰여덟 살의 장이탕이 이 문제에 큰 구멍을 냅니다. 「간격이 7천만 이하인 소수 쌍이 무한히 많다」는 것이었습니다. 무한이 아니라 유한한 간격이 등장한 것은 처음이었습니다.
그가 놀라움을 준 까닭은 이름 없는 강사였기 때문입니다. 박사를 받고도 자리를 얻지 못해 한때 샌드위치 가게에서 회계를 봤고, 논문을 낸 뒤에야 세상이 그를 알았습니다.
쌍둥이 소수 자체의 쓰임은 아직 없습니다. 무한히 많은지도 아직 모릅니다.
그러나 2013년 장이탕이 「간격이 7천만 이하인 소수 쌍이 무한히 많다」를 증명한 뒤 수백 명이 함께 그 수를 246까지 줄였습니다. 인터넷으로 함께 연구하는 새 방식을 보여 준 사건입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
소수를 늘어놓고 짝을 찾는다
100까지의 수 중에서 소수를 찾고, 그중에서 차이가 2인 쌍을 동그라미 쳐 보세요. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73) 총 8쌍이 나옵니다.
수백 자리, 수천 자리의 거대한 수에서도 쌍둥이 소수가 계속 발견됩니다. 이 소수 짝들이 무한히 많은지는 아직 아무도 모르는 신비로운 수수께끼입니다.
쌍둥이 소수를 찾아 보세요
무한히 많은지는 아직 모릅니다.
큰 수에서도 찾아보기
소수 정리(Prime number theorem)에 따르면 근처에서 소수 사이의 평균 간격은 대략 로 점점 넓어집니다.
예를 들어 부근에서는 소수 간격이 평균 28이나 됩니다. 그럼에도 불구하고 간격이 고작 2인 쌍둥이 소수가 계속 존재하는가는 정수론 역사상 가장 매혹적인 추측 중 하나입니다.
소수 사이가 얼마나 벌어지나
그런데 2 만 떨어진 짝도 끝없이 나타나는 듯 보입니다.
최근에 좁혀진 간격
모든 소수의 역수의 합 은 무한대로 발산하지만, 쌍둥이 소수의 역수의 합 은 놀랍게도 브룬 상수(Brun's constant) 로 유한하게 수렴합니다.
이것은 쌍둥이 소수가 만약 무한히 존재하더라도 전체 소수에 비해 매우 희소하게 분포함을 뜻합니다.
장이탕의 돌파
폴리매스 협업으로 246 까지 내려왔습니다 — 2 까지는 아직.
미해결
2013년 장이탕(Yitang Zhang)은 간격이 7천만 이하인 소수 쌍이 무한히 존재함을 세계 최초로 증명하여 전 세계를 놀라게 했습니다.
이후 제임스 메이나드(James Maynard)와 테렌스 타오의 폴리매스 프로젝트를 거쳐 이 간격은 246까지 좁혀졌습니다. 소수 간격의 상한을 2까지 끌어내려 쌍둥이 소수 추측을 완결하려는 현대 해석적 정수론의 위대한 진군입니다.
하디–리틀우드 추측
추측인데 실제와 소수점 아래까지 맞습니다 — 그래도 증명은 없습니다.
풀어 보기
쌍둥이 소수와 소수의 성질. 다음 물음에 답하시오.
(1) 100 이하의 자연수 중 쌍둥이 소수 쌍을 모두 나열하시오.
(2) (3, 5, 7)은 세 소수의 간격이 모두 2인 '소수 세쌍둥이'이다. 3보다 큰 소수 세쌍둥이 는 존재할 수 없음을 을 이용하여 증명하시오.
(3) 연속한 두 자연수 이 모두 소수인 유일한 쌍을 찾고 그 까닭을 설명하시오.
(2) 는 세 수 중 하나는 반드시 3의 배수가 됨을 보이세요.
답과 풀이 보기
(1) 여덟 쌍입니다.
⭐ 73 뒤로 100 까지는 한 쌍도 없습니다. 쌍둥이는 위로 갈수록 드물어집니다.
(2) 세 수를 3 으로 나눈 나머지를 봅니다.
를 3 으로 나눈 나머지는 인데, 이므로 셋은 — 0, 1, 2 를 하나씩 다 차지합니다.
그러므로 셋 가운데 하나는 반드시 3 의 배수입니다.
3 보다 큰 3 의 배수는 소수가 아니므로, 인 소수 세쌍둥이는 있을 수 없습니다.
⭐ 만 되는 까닭 — 여기서는 3 의 배수인 것이 3 자신이라 여전히 소수이기 때문입니다.
(3) 하나뿐입니다.
이어지는 두 자연수는 반드시 하나가 짝수입니다. 짝수인 소수는 2 하나뿐이므로 그 짝수는 2 여야 하고, 이웃은 1 이나 3 인데 1 은 소수가 아니므로 (2, 3) 뿐입니다.
쌍둥이 소수가 끝없이 있는지는 지금도 모릅니다.
2013 년 장이탕이 「7천만 이하 간격의 소수 쌍이 무한하다」를 증명했고, 곧이어 여럿이 달려들어 그 수를 246 까지 끌어내렸습니다.
2 까지 내려가면 쌍둥이 소수 추측이 풀립니다. 그 246 이 10 년째 그대로입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
소수의 분포는 수학의 가장 깊은 수수께끼입니다.
- 소수 정리 — 소수가 대략 얼마나 자주 나오는지는 밝혀졌습니다
- 리만 가설 — 그 분포의 정확한 모습에 대한 미해결 문제입니다
- 협업 수학 — 장이탕 이후의 진전은 인터넷으로 여럿이 함께 이뤄 냈습니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
알퐁스 드 폴리냐크(Alphonse de Polignac)가 1849년 파리 과학 아카데미에 발표한 논문 「Recherches nouvelles sur les nombres premiers」와, 이탕 장(Yitang Zhang)이 2013년 수학연보(Annals of Mathematics)에 발표한 유한 간격 소수쌍 증명 「Bounded gaps between primes」에서 왔습니다.