브라우어 부동점
지도를 구겨서 원래 지도 위에 올려놓아 보세요
서울 시내 지도를 한 장 사서 책상 위에 반듯하게 폅니다. 똑같은 지도 한 장을 손으로 마구 구겨서 찢지 않고 원래 지도 테두리 안에 쏙 올려놓습니다.
구겨진 지도 위의 한 점은 바닥 지도의 실제 위치와 단 1밀리미터의 오차도 없이 완벽히 겹치는 점이 반드시 하나 이상 존재합니다. 아무렇게나 마구 구겼는데 어떻게 제자리를 지키는 점이 무조건 생길까요?
이야기
두 사람이 함께 있어 어느 쪽인지는 밝히지 않습니다
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1910년 무렵 암스테르담. 스물아홉의 라위트전 브라우어가 이 정리를 증명합니다. 그는 곧 위상수학의 대가로 불리게 됩니다.
그런데 정작 그는 나중에 자기 증명을 부정했습니다. 그는 직관주의라는 입장으로 돌아서서, 「있다는 것만 말하고 어디 있는지 못 말하는 증명」을 수학으로 인정하지 않게 되었습니다. 자기 이름이 붙은 정리를 스스로 받아들이지 않은 것입니다.
그리고 이 정리가 바로 그런 정리입니다. 움직이지 않는 점이 있다고만 말하고, 그 점이 어디인지는 알려 주지 않습니다.
1차원에서 보면 까닭이 훤합니다. 길이 1인 막대의 각 점을 다시 그 막대 위로 보낸다고 합시다. 왼쪽 끝은 오른쪽으로 밀리거나 제자리이고, 오른쪽 끝은 왼쪽으로 밀리거나 제자리입니다.
「옮겨 간 자리 빼기 원래 자리」를 재면 왼쪽 끝에서는 0 이상, 오른쪽 끝에서는 0 이하입니다. 값이 끊기지 않고 이어지기 때문에 그 사이 어딘가에서 반드시 0을 지납니다. 그 자리가 제자리로 돌아온 점입니다.
「반드시 균형이 있다」는 것을 보증합니다. 이 정리로 내시 균형과 시장의 균형 가격이 존재함을 증명합니다.
경매 설계, 통신 주파수 배분, 교통 흐름 예측이 모두 「균형이 있다」는 이 보장 위에 서 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
지도 두 장을 겹쳐 놓는 이야기
고무줄을 늘렸다가 줄여서 원래 자리에 놓아 봅니다. 양 끝을 벗어나지 않게 고무줄을 아무리 비틀어 놓아도 원래 자리 그대로 머물러 있는 점이 적어도 하나는 반드시 생깁니다.
커피잔을 숟가락으로 휘저어 빙글빙글 돌릴 때도, 아무리 물살이 소용돌이쳐도 회전의 한가운데에서 단 1밀리미터도 움직이지 않는 고요한 점 하나가 반드시 존재합니다.
지도를 구겨 놓아 보세요
구기든 접든 늘리든 찢지만 않으면 그렇습니다.
⭐ 찢는 순간 부동점이 사라질 수 있습니다 — 「이어져 있음」이 열쇠입니다.
1차원에서 중간값으로
1차원 선분 에서 연속함수 가 로 갈 때, 라 하면 이고 입니다.
중간값 정리(Intermediate Value Theorem)에 의해 , 즉 가 되는 점 가 반드시 존재합니다. 이것이 1차원 부동점 정리입니다.
커피를 저어 보세요
어디인지는 모르지만 있다는 것은 압니다.
2차원 증명 얼개
륏전 브라우어는 이를 차원으로 확장하여 브라우어 부동점 정리(Brouwer Fixed Point Theorem)를 증명했습니다.
콤팩트 볼록 집합(단위 닫힌 공 )에서 자기 자신으로 가는 모든 연속함수 은 부동점 를 적어도 하나 갖습니다. 만약 부동점이 없다면 원판을 둘레인 원으로 연속적으로 축약(Retraction)할 수 있다는 모순이 생겨 대수적 위상수학(호몰로지)으로 증명됩니다.
차원마다 다릅니다
구멍이 있으면 부동점 없이 돌릴 수 있습니다.
내시 균형
존 내시(John Nash)는 브라우어 부동점 정리의 다가함수 확장판인 카쿠타니 부동점 정리(Kakutani fixed-point theorem)를 이용하여 모든 유한 게임에 내시 균형(Nash Equilibrium)이 반드시 존재함을 증명(1994년 노벨 경제학상)했습니다.
현대 경제학의 일반균형이론(에로우-드브뢰 모델), 미분방정식의 해의 존재성 정리, 기상학의 대기 순환 모델의 수학적 주춧돌입니다.
내시 균형도 여기서
가위바위보에도 「셋을 1/3 씩」이라는 균형이 있습니다.
풀어 보기
부동점 정리와 함수의 연속성. 닫힌구간 에서 정의된 연속함수 이 있다.
(1) 부동점의 정의 를 만족하는 이차방정식을 세우시오.
(2) 구간 안에 존재하는 유일한 부동점 의 값을 구하시오.
(3) 만약 정의역이 열린구간 이라면 연속함수 에 부동점이 존재하는지 여부를 쓰시오.
(1) , (2) , (3) 이므로 존재하지 않습니다.
답과 풀이 보기
(1) 이므로
(2) 입니다.
근의 공식으로 인데, 은 밖이라 버립니다.
확인 : — 제자리로 돌아옵니다.
⭐ 이 값은 황금비의 역수입니다. 뜻밖의 자리에서 또 나옵니다.
(3) 존재하지 않습니다.
인데 입니다.
⛔ 부동점 정리는 정의역이 닫히고 유계일 때만 보장합니다. 열린구간은 끝점이 없어서 부동점이 가장자리로 새어 나갑니다.
이었다면 이 부동점이 되었을 것입니다.
지도를 구겨서 그 지역 안에 던져 놓으면, 실제 그 자리 바로 위에 있는 점이 반드시 하나 있습니다.
커피를 저으면 움직이지 않는 점이 반드시 있습니다. 지구의 바람도 마찬가지라 바람 한 점 없는 자리가 지금 이 순간 어딘가에 있습니다.
재미있는 것은 — 이 정리는 있다고만 말할 뿐 어디인지는 말해 주지 않습니다.
더 멀리
「반드시 있다」는 이 정리는 경제학을 떠받칩니다.
- 내시 균형 — 게임에 균형점이 존재한다는 증명에 쓰입니다
- 일반균형이론 — 시장에 균형 가격이 존재함을 보이는 데 씁니다
- 직접 해 보기 — 종이 두 장으로 구겨 겹치기를 해 보세요
이어지는 장
지도를 마구 구겨 원래 지도 위에 올려놓아도 제자리에 머무는 점이 반드시 존재한다는 성질은, 빵과 햄과 치즈를 단 한 번의 칼질로 정확히 이등분할 수 있다는 위상수학의 연속성과 같은 맥락입니다 — 제139장 에서 공간을 가르는 연속의 힘을 확인하세요.
영감을 받은 곳
라위트전 브라우어(L. E. J. Brouwer)가 1911년 《수학연보》(Mathematische Annalen)에 발표한 논문 「Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten」에서 콤팩트 볼록 집합 위 연속함수의 부동점 존재성을 증명했습니다.