동전 여섯 개가 하나를 둘러싼다
동전 여섯 개가 딱 들어맞습니다
책상 위에 같은 크기의 동전 하나를 놓고, 그 둘레에 같은 동전들을 빈틈없이 둘러붙여 보세요.
동전을 차례로 붙여 나가면 정확히 여섯 개로 한 바퀴가 꼭 맞게 닫힙니다. 다섯 개도 일곱 개도 아닌 여섯 개가 되는 까닭은 무엇일까요?
이야기
그런데 이 「여섯」은 평면에서만 그렇습니다. 공을 쌓으면 어떨까요. 가운데 공 하나에 같은 공을 몇 개나 닿게 붙일 수 있을까요. 열둘까지는 누구나 붙입니다. 그런데 열셋도 될까요?
1694년 케임브리지에서 뉴턴과 천문학자 데이비드 그레고리가 이것을 두고 다퉜습니다. 뉴턴은 열둘이 끝이라 했고, 그레고리는 열셋도 될 것이라 했습니다. 열두 개를 붙이고 나면 틈이 제법 남기 때문입니다.
남은 틈을 다 모으면 공 하나가 들어갈 만한데, 그 틈이 여기저기 흩어져 있어서 한 곳으로 모을 수가 없습니다. 그래서 눈으로는 판가름이 나지 않았습니다.
뉴턴이 옳다는 것이 증명된 것은 1953년입니다. 259년이 걸렸습니다.
평면에서 여섯인 까닭은 훨씬 쉽습니다. 가운데 동전의 중심과 바깥 동전 둘의 중심을 이으면 세 변이 모두 지름과 같은 정삼각형이 됩니다. 정삼각형의 한 각이 60도이고 360÷60 = 6이기 때문에 딱 여섯입니다.
그는 열두 개가 끝이라고 했고, 상대는 열셋도 될 것이라고 맞섰습니다. 두 사람 다 종이에 그려 보고 공을 굴려 보았지만 끝내 결론을 내지 못했습니다. 눈으로 볼 수 있는 것과 증명할 수 있는 것은 다른 일이었습니다.
가장 빽빽하게 쌓는 방법이 육각 배치라는 첫 증거입니다.
파이프를 상자에 담는 법, 케이블을 다발로 묶는 법, 휴대전화 기지국을 배치하는 법(그래서 「셀룰러」가 육각형입니다)이 모두 이 배치를 따릅니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
동전으로 해 본다
동전 일곱 개를 준비해 가운데 하나를 두고 둘레에 붙여 봅니다. 신기하게도 남거나 모자라지 않고 정확히 여섯 개가 둘러쌉니다.
가운데 동전 중심과 바깥 동전 둘의 중심을 선으로 이어 보세요. 세 변의 길이가 모두 동전 지름과 같은 정삼각형이 만들어집니다. 정삼각형 여섯 개가 모여 한 바퀴를 꽉 채우는 것을 눈으로 볼 수 있습니다.
동전 여섯 개로 하나를 둘러 보세요
중심들이 정육각형을 이루기 때문입니다 — 각이 딱 60° 입니다.
정삼각형이 여섯 개
반지름이 로 같은 두 원이 외접하면 두 중심 사이의 거리는 입니다. 가운데 원과 바깥의 이웃한 두 원의 중심을 이으면 세 변의 길이가 모두 인 정삼각형이 생깁니다.
정삼각형의 한 내각은 60°입니다. 한 점 둘레의 각도는 360°이므로, 이 되어 정확히 6개의 정삼각형이 모여야 합니다. 그래서 둘러싸는 원은 반드시 여섯 개입니다.
크기가 다르면
딱 정수가 되는 것은 특별한 비율일 때만입니다.
원의 최밀 채우기
이 성질은 평면에서 같은 크기의 원을 가장 촘촘하게 채우는 최밀 원 채우기(Circle Packing) 문제의 기초입니다.
원들을 사각형 격자로 배열하면 밀도가 이지만, 정삼각형 격자(육각 격자)로 엇갈려 채우면 밀도가 로 최대가 됩니다. 1940년 악셀 투에와 라슬로 페예시 토트가 이 배치가 가장 빽빽함을 엄밀하게 증명했습니다.
3 차원에서는
뉴턴이 옳았습니다 — 1953년에야 증명됐습니다.
케플러 추측
2차원 평면의 원 채우기 문제는 3차원 구 채우기(케플러 추측)를 거쳐 차원 초구 채우기(Sphere Packing) 이론으로 확장됩니다.
2016년 마리나 비아조우스카는 모듈러 형식 이론을 이용하여 8차원 공간에서 격자, 24차원 공간에서 리치(Leech) 격자가 최밀 채우기임을 증명하여 필즈상을 수상했습니다. 이 이론은 디지털 통신의 오류 정정 부호 설계에 필수적입니다.
8 차원과 24 차원의 기적
5·6·7 차원은 아직 정확히 모릅니다 — 이상한 일입니다.
풀어 보기
원 채우기와 중심각. 반지름이 인 합동인 원들이 있다.
(1) 외접하는 세 원의 중심을 이은 삼각형이 한 변의 길이가 인 정삼각형임을 설명하시오.
(2) 가운데 원 하나를 같은 크기의 원 개로 둘러쌀 때 임을 한 점 둘레의 중심각의 크기(360°)를 이용하여 보이시오.
(3) 한 변의 길이가 인 정삼각형 내부에서 세 원의 부채꼴이 차지하는 넓이의 합을 구하시오.
(3) 정삼각형의 세 내각은 각각 60°이므로, 세 부채꼴의 중심각의 합은 180°가 되어 반원 하나의 넓이와 같습니다.
답과 풀이 보기
(1) 두 원이 겉으로 닿으면 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합입니다. 세 원이 서로 닿으므로 세 중심 사이의 거리가 모두 — 세 변이 같으니 정삼각형입니다.
(2) (1) 에서 가운데 원의 중심과 이웃한 두 원의 중심이 이루는 각은 정삼각형의 한 각인 입니다.
한 점 둘레는 이므로 개가 들어갑니다.
다섯이면 로 헐렁하고, 일곱이면 로 넘칩니다.
(3) 정삼각형의 세 내각의 합이 이므로 세 부채꼴을 모으면 반원 하나가 됩니다.
이 여섯 배치를 넓혀 가면 벌집 무늬가 나옵니다. 원을 가장 빽빽하게 놓는 방법이 곧 육각형 배열입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
원을 빽빽하게 놓는 문제는 실제 값을 다룹니다.
- 과일 진열과 포장 — 어떻게 놓아야 상자에 가장 많이 들어가는지
- 통신 기지국 — 전파가 닿는 원을 겹치지 않게 배치하면 육각형 격자가 됩니다. 그래서 휴대전화망을 셀룰러(벌집)라 부릅니다
- 결정 구조 — 원자가 쌓이는 방식도 이 배열입니다
이어지는 장
같은 크기의 동전이 한 동전을 둘러쌀 때 정확히 여섯 개가 닿아 정육각형을 이루는 성질은, 평면을 가장 경제적으로 채우는 벌들의 육각형 건축술과 정확히 맞닿아 있습니다 — 제25장에서 원의 접촉이 육각형 구조로 승화하는 까닭을 살펴보세요.
영감을 받은 곳
기원전 300년경 유클리드의 『원론』 제4권에 기초한 평면 기하학의 접촉 성질로, 18세기 라그랑주와 가우스의 2차원 격자 및 원 채우기(Circle packing) 연구로 체계화되었습니다.