검사에서 양성이 나왔다면
99% 정확한 검사 결과를 받아보세요
정확도가 99%인 희귀병 진단 검사를 받았는데 '양성(질병 의심)' 판정이 나왔습니다. 의사도 환자도 99% 확률로 병에 걸렸다고 생각하며 절망합니다.
하지만 실제 환자일 확률을 1,000명의 표를 그려 셈해보면 진짜 병에 걸렸을 확률은 10%도 되지 않습니다. 정확도 99% 검사에서 양성이 나왔는데 왜 90% 이상이 가짜 양성일까요?
이야기
1978년, 하버드 의과대학에서 실험을 했습니다. 의사와 의대생 예순 명에게 바로 이 물음을 던진 것입니다. 「천 명에 한 명이 걸리는 병, 오진율 5%인 검사에서 양성이 나왔다면 실제로 병일 확률은?」
그런데 절반 가까이가 「95%」라고 답했습니다. 정답은 2%였습니다. 환자에게 병을 알려 주는 사람들이 이 셈을 틀린 것입니다.
고치는 방법은 뜻밖에 간단합니다. 확률로 말하지 말고 사람 수로 세는 것입니다. 만 명으로 세어 보십시오. 병에 걸린 사람은 10명, 그 가운데 약 10명이 양성입니다.
건강한 사람은 9990명인데, 그 가운데 1%인 100명이 「잘못 양성」으로 나옵니다. 그러니 양성 판정을 받은 110명 가운데 진짜 환자는 10명, 곧 9%뿐입니다.
까닭은 건강한 사람이 압도적으로 많기 때문입니다. 오진율이 1%밖에 안 되어도, 그 1%가 적용되는 사람 수가 천 배 많으면 가짜가 진짜를 파묻습니다.
건강검진 결과를 읽는 법이 여기 있습니다. 드문 병일수록 양성이 나와도 실제로 걸렸을 확률은 낮습니다. 그래서 병원은 양성이 나오면 다른 방식으로 다시 검사합니다.
공항 보안 검색과 스팸 필터에서 헛경보가 많은 것도 같은 이유입니다 — 찾는 것이 드물기 때문입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
천 명을 세어 표를 채운다
인구 1,000명 중 1명(0.1%)만 걸리는 희귀병이 있다고 해 봅시다. 1,000명 전체를 검사합니다.
진짜 환자 1명은 99% 정확도로 양성 판정을 받습니다. 그런데 병이 없는 건강한 999명 중에서도 1%의 오차로 인해 약 10명의 가짜 환자(위양성)가 양성 판정을 받습니다. 양성이 나온 총 11명 중 진짜 환자는 단 1명이므로 실제 환자일 확률은 1/11(약 9%)에 불과합니다.
양성이면 정말 병일까요
건강한 사람이 999 명이라 그중 1% 만 틀려도 10 명이 나오기 때문입니다.
천 명으로 표를 그려 세기
이것을 기저율의 오류(Base Rate Fallacy)라 부릅니다. 질병의 유병률(사전 확률)이 매우 낮으면, 검사 기계의 정확도가 아무리 높아도 건강한 사람의 수가 압도적으로 많아서 위양성 환자의 절대적인 숫자가 진짜 환자 수를 압도해 버립니다.
검사 결과만 보고 원래 질병이 얼마나 드문지를 무시하면 엄청난 판단 착오를 일으킵니다.
환자가 많아지면
같은 검사라도 누구에게 하느냐에 따라 뜻이 달라집니다.
베이즈 정리
토머스 베이즈의 베이즈 정리(Bayes' Theorem)로 정식화됩니다. 질병 사건을 , 양성 판정 사건을 라 할 때 사후확률은 다음과 같습니다.
. 민감도 99%, 위양성률 1%, 유병률 0.1%를 대입하면 가 됩니다.
두 번 검사하면
거짓 양성이 제곱으로 줄기 때문입니다 — 그래서 확진 검사를 다시 합니다.
의사결정
베이지안 추론(Bayesian Inference)은 새로운 데이터(증거)가 주어졌을 때 사전 믿음(Prior)을 사후 믿음(Posterior)으로 갱신하는 현대 통계학의 핵심 패러다임입니다.
의학적 선별 검사 정책 수립, 법정 증거 채택(검사의 오류 방지), 스팸 메일 필터링, 그리고 자율주행 센서 융합 및 생성형 AI 머신러닝의 파라미터 추정 알고리즘 전반을 지배합니다.
베이즈 정리로 보세요
믿음은 덮어쓰는 것이 아니라 곱해서 갱신하는 것입니다.
풀어 보기
베이즈 정리와 조건부 확률. 인구 10,000명 중 유병률이 1%인 질병이 있다. 검사의 민감도(환자를 양성 판정)가 99%, 위양성률(건강한 사람을 양성 판정)이 1%이다.
(1) 10,000명 중 실제 환자 수와 건강한 사람 수를 각각 구하시오.
(2) 검사 결과 양성 판정을 받는 총 인원수를 계산하시오.
(3) 양성 판정을 받은 사람이 실제로 질병에 걸렸을 사후확률 을 분수와 백분율로 구하시오.
(2) 명, (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 환자 100 명 · 건강한 사람 9,900 명 입니다.
·
(2) 198 명입니다.
· 환자 중 양성 : 명
· 건강한데 양성 : 명
합하면 명.
⭐ 공교롭게도 딱 같습니다. 환자가 워낙 적어서, 위양성률이 1% 밖에 안 되는데도 건강한 사람 쪽에서 나온 양성이 환자만큼 됩니다.
(3) 입니다.
베이즈 정리로 쓰면
정확도 99% 인 검사에서 양성이 나왔는데 실제로 병일 확률은 반반입니다.
⛔ 까닭은 건강한 사람이 99 배 많기 때문입니다. 1% 의 실수라도 9,900 명에게 저지르면 99 명이 됩니다.
⭐ 그래서 의사는 증상이 있는 사람에게만 검사합니다. 그 무리에서는 유병률이 1% 가 아니라 훨씬 높아 같은 검사도 훨씬 믿을 만해집니다.
위양성률만 0.1% 로 낮춰도 로 뜁니다. 희귀할수록 위양성이 무섭습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이것을 모르면 큰 결정을 잘못 내립니다.
- 베이즈 정리 — 앞의 확률(유병률)이 결과를 좌우합니다
- 재검사 — 그래서 양성이 나오면 다른 방식으로 다시 검사합니다
- 공항 보안·스팸 필터 — 드문 것을 찾는 모든 곳에서 같은 일이 일어납니다
이어지는 장
검사 정확도가 99%여도 희귀 질환 앞에서는 위양성이 속출하듯, 집단별 통계가 전체 통계로 합쳐질 때 정반대로 뒤집히는 심프슨 역설 역시 조건부 구조의 착시에서 비롯됩니다 — 제104장 에서 데이터가 던지는 정교한 함정을 함께 비교해 보세요.
영감을 받은 곳
토머스 베이즈(Thomas Bayes)의 유고 논문 「An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances」(1763, 왕립학회 철학회보 발표)와 피에르시몽 라플라스의 1812년 『확률의 해석적 이론』(Théorie analytique des probabilités)에서 확립되었습니다.