쪼개는 길은 하나뿐
어느 길로 쪼개도 끝은 같습니다
360을 쪼개 봅시다. 36 × 10 으로 시작해도 되고, 4 × 90 으로 시작해도 되고, 8 × 45 로 시작해도 됩니다. 가는 길이 다 다릅니다.
그런데 더 쪼갤 수 없을 때까지 쪼개고 나면 언제나 2·2·2·3·3·5 입니다. 어느 길로 가도 같은 곳에 닿습니다. 왜 그럴까요?
이야기
「당연한 것 아닌가」 싶은 이 사실이, 사실은 당연하지 않습니다. 그리고 이것을 처음으로 증명해야 할 것으로 본 사람이 스물넷의 가우스였습니다. 1801년 『산술 연구』에서입니다.
에우클레이데스는 이천 년 앞서 그 열쇠가 되는 성질을 적어 두었습니다. 「소수가 두 수의 곱을 나누면, 둘 가운데 적어도 하나를 나눈다」 — 『원론』 일곱째 권 서른째 명제입니다. 그러나 「쪼개는 길이 하나뿐」이라고 또렷이 말하지는 않았습니다.
그런데 이것이 무너지는 세계가 정말 있습니다. 꼴의 수만 모아 놓은 세계에서는 이면서 동시에 입니다. 넷 다 더 쪼갤 수 없는데 쪼개는 길이 둘입니다.
이 구멍 때문에 페르마의 마지막 정리의 「증명」이 여러 번 무너졌습니다. 쿠머가 그것을 알아채고 이데알이라는 새 개념을 만들어 메꾸었고, 거기서 현대 대수적 정수론이 태어났습니다.
왜 보통의 정수에서는 길이 하나뿐일까요. 위의 에우클레이데스의 성질 때문입니다. 두 가지 쪼개기가 있다고 해 봅시다. 한쪽의 소수 하나를 잡으면, 그것은 다른 쪽 전체의 곱을 나누므로 다른 쪽 소수 가운데 하나를 나눕니다.
소수를 나누는 소수는 자기 자신뿐이니 둘이 같습니다. 그 짝을 지우고 같은 일을 되풀이하면 하나씩 다 짝지어지고, 결국 두 쪼개기가 같은 것이 됩니다.
인터넷 암호가 이 정리 위에 서 있습니다. 큰 수의 소인수분해가 단 하나로 정해져 있는데도 찾기가 어렵다는 것 — 그 어긋남이 제4장 의 자물쇠입니다. 답이 하나뿐이어야 자물쇠가 성립합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
360을 여러 길로 쪼개어 본다
360을 서로 다른 세 가지 길로 쪼개 보세요.
36 × 10 → (6×6) × (2×5) → (2×3)(2×3)(2×5)
4 × 90 → (2×2) × (9×10) → (2×2)(3×3)(2×5)
8 × 45 → (2×2×2) × (5×9) → (2×2×2)(5)(3×3)
세 줄을 늘어놓고 2가 몇 개, 3이 몇 개, 5가 몇 개인지 세어 보세요. 셋 다 2가 세 개, 3이 두 개, 5가 하나입니다. 차례만 다를 뿐 알맹이가 같습니다.
소인수분해로 약수의 개수를 센다
360을 로 적습니다. 이렇게 적어 두면 약수가 몇 개인지 바로 셀 수 있습니다.
약수는 2를 0~3개, 3을 0~2개, 5를 0~1개 골라 곱한 것입니다. 그러니 개.
최대공약수와 최소공배수도 한눈에 나옵니다. 같은 소수의 작은 쪽 지수를 모으면 최대공약수, 큰 쪽 지수를 모으면 최소공배수입니다.
산술의 기본정리와 유클리드 보조정리
산술의 기본정리 — 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 차례를 빼면 단 한 가지로 나타난다.
증명은 두 부분입니다. 있다는 것은 쉽습니다 — 계속 쪼개면 수가 줄어들어 언젠가 멈춥니다.
하나뿐이다가 어렵고, 그 열쇠가 유클리드 보조정리입니다 — 이면 이거나 . 이것은 제76장 의 호제법에서 나옵니다.
쪼개는 길이 하나가 아닌 세계
「쪼개는 길이 하나」인 것은 특별한 성질이지 당연한 것이 아닙니다. 그런 성질을 가진 세계를 유일인수분해정역이라 부릅니다.
는 그렇지 않습니다. 쿠머는 그것을 「이상적인 수」를 덧붙여 메꾸려 했고, 데데킨트가 그것을 이데알로 다듬었습니다.
그러면 그 세계가 얼마나 어긋났는지를 재는 수가 필요해집니다. 그것이 유수(class number) 이고, 1이면 다시 길이 하나가 됩니다. 제84장 의 증명이 백 년 넘게 막혔던 까닭이 여기 있습니다.
풀어 보기
쪼개고 세기.
(1) 360을 소인수분해하고, 약수가 모두 몇 개인지 구하시오.
(2) 어떤 수의 소인수분해가 이고 약수가 12개일 때, 가능한 를 모두 구하시오. ()
(3) 1부터 10까지의 최소공배수를 소인수분해로 구하시오.
답과 풀이 보기
(1) · 약수는 24개.
지수에 1을 더해 곱합니다 — .
(2) .
이고 이므로 .
12를 2 이상인 두 수의 곱으로 쓰면 — 네 가지입니다.
⭐ 는 이 되어 조건에 어긋납니다.
(3) .
1~10 안에서 2는 최대 , 3은 , 5와 7은 한 번씩입니다.
각 소수의 가장 높은 지수를 모으면 최소공배수가 됩니다.
검산 : 2520을 1부터 10까지로 나누면 모두 나누어떨어집니다.
더 멀리
「단 한 가지로 쪼개진다」가 있어야 되는 일들이 많습니다.
- 기약분수 — 분수를 더 줄일 수 없는 꼴이 하나로 정해지는 까닭입니다
- 암호 — 큰 수의 소인수가 하나로 정해져 있어야 열쇠가 됩니다
- 소수의 개수 — 소수가 무한하다는 제113장 의 논증도 이 성질을 씁니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
에우클레이데스 『원론』 제7권 명제 30(유클리드 보조정리)과 카를 프리드리히 가우스 『산술 연구』(1801) 제16항에 기대고 있습니다. 에서 유일분해가 깨지는 것과 에른스트 쿠머의 「이상수」(1840년대), 리하르트 데데킨트의 이데알은 대수적 정수론의 표준 내용입니다. 공개된 수학 사실이며, 계단·문항·그림은 우리가 지었습니다.