모를리의 삼각형
세 각을 3등분해 보세요
삐뚤빼뚤하고 제멋대로 생긴 아무 삼각형이나 종이에 크게 하나 그려 보세요. 세 내각을 각각 정확히 3등분하는 선들을 긋습니다.
이웃한 각의 삼등분선들이 만나는 세 점을 찾아 곧은 선으로 이어 보세요. 완벽한 정삼각형이 한가운데 떠오릅니다. 원래 삼각형이 아무리 찌그러져 있어도 왜 항상 정삼각형이 될까요?
이야기
Alfred Hugh Fisher (1867-1945)
Public domain · 위키미디어 공용
아무 삼각형이나 하나 그리세요. 찌그러져도 좋습니다.
세 각을 각각 삼등분하는 선을 긋습니다. 한 각에 두 선씩, 모두 여섯 개입니다.
이제 한 변에 이웃한 두 삼등분선끼리 만나게 합니다. 변 BC 에 붙은 것끼리, CA 에 붙은 것끼리, AB 에 붙은 것끼리요. 그렇게 얻은 점 셋을 이어 보세요. 정삼각형이 나옵니다.
짝을 잘못 지으면 안 됩니다. 「이웃한 것끼리」가 열쇠입니다.
어떤 삼각형에서 시작해도 그렇습니다. 아무리 길쭉하고 못생긴 삼각형이라도 한가운데에 완벽한 정삼각형이 나타납니다.
이것을 모를리의 기적이라 부릅니다. 1899년 프랭크 모를리가 발견했습니다.
왜 이렇게 늦게 발견되었을까요? 각의 삼등분은 자와 컴퍼스로 작도할 수 없기 때문입니다. 이천 년 동안 사람들은 삼등분을 하려다 실패했고, 그래서 삼등분선을 그어 볼 생각조차 잘 하지 않았습니다.
못 하는 것에 매달리느라, 그어 놓고 보면 보이는 것을 놓친 셈입니다.
🚩 그런데 모를리는 이것을 논문으로 내지 않았습니다. 1899년 친구들에게 이야기했더니 소문이 퍼져 인도와 일본의 잡지에 「문제」로 실렸습니다. 그가 직접 활자로 낸 것은 한참 뒤였습니다.
그는 체스도 아주 잘 두어서, 당시 세계 챔피언 에마누엘 라스커와 두어 이긴 적이 있습니다.
바로 쓰이는 곳은 없습니다. 이천 년 동안 아무도 못 본 아름다움을 1899년에야 찾은 정리입니다.
이 장이 오늘 하는 일은 다른 것입니다 — 「못 하는 것에 매달리느라 그어 놓고 보면 보이는 것을 놓친다」는 교훈입니다. 삼등분이 불가능하다는 생각에 갇혀 아무도 그어 보지 않았습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
그림으로 보기만 해도 놀랍다
종이에 길쭉하거나 납작한 삼각형을 그립니다. 각도기를 써서 세 꼭짓점의 각도를 각각 셋으로 똑같이 나눕니다.
이웃한 변 쪽에서 나온 삼등분선 둘이 만나는 교점 세 개를 콕콕 찍고 자로 이어 봅니다. 세 변의 길이를 재어 보면 세 변의 길이가 똑같은 완벽한 정삼각형이 마법처럼 나타납니다.
각을 셋으로 나눠 보세요
가운데에 정삼각형이 생깁니다 — 1899년에야 발견됐습니다.
각 삼등분선을 그려 확인
삼각형의 세 각을 라 하면 이므로 입니다.
삼각형 안쪽 교점들로 만들어지는 작은 삼각형들의 각도를 추적하면 각도가 , , 형태로 아름답게 맞물립니다. 복잡한 기하 대칭이 서로를 상쇄시키며 가운데 세 변의 길이를 정확히 같게 만듭니다.
각의 합은 60°
그런데 증명은 무척 어렵습니다.
삼각함수로 증명
프랭크 모를리가 1899년에 발견한 모를리 삼등분 정리(Morley's Trisector Theorem)입니다. 사인법칙과 삼각함수의 덧셈정리, 특히 항등식을 사용하여 대수적으로 엄밀하게 증명됩니다.
외접원 반지름을 이라 할 때 안쪽 정삼각형 한 변의 길이는 로 유일하게 결정됩니다.
변의 길이
세 각이 다 60° 일 때 가장 큽니다.
왜 이렇게 늦게 발견되었나
고대 그리스인들이 유클리드 기하학의 모든 기본 정리를 다 찾아냈다고 믿어졌으나, 이 놀라운 정리는 19세기 말에야 발견되었습니다. 자와 컴퍼스로 임의의 각을 삼등분할 수 없다는 작도 불능 문제 때문에 그리스인들이 삼등분선을 탐구하지 않았기 때문입니다.
이 정리는 아핀 기하학과 복소평면 대칭 변환군, 존 콘웨이의 역방향 순환 조립 증명 등 현대 기하학의 다양한 관점에서 재조명되었습니다.
왜 삼등분만 되나
그런데 각의 삼등분은 자와 컴퍼스로는 불가능합니다 — 그래서 더 신비합니다.
풀어 보기
모를리의 삼각형과 각의 성질. 삼각형 의 세 내각의 크기가 이다.
(1) 의 값을 구하시오.
(2) 정삼각형 ()에 모를리 정리를 적용할 때 의 값을 각각 구하시오.
(3) 외접원의 반지름이 인 정삼각형 에 생기는 모를리 정삼각형의 한 변의 길이를 과 로 나타내시오.
(1) , (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
세 내각의 합이 이므로
(2) 입니다.
이므로 — 셋 다 같습니다.
그래서 각 꼭짓점에서 씩 세 갈래로 각을 나눕니다.
(3) 입니다.
일반식은 인데, 정삼각형이면 셋이 모두 라 가 됩니다.
⭐ 원래 정삼각형의 한 변은 이므로, 모를리 삼각형은 약 5 분의 1 크기인 작은 정삼각형입니다.
아무렇게나 삼각형을 그리고 세 각을 각각 삼등분해 보십시오. 이웃한 삼등분선끼리 만나는 세 점은 언제나 정삼각형을 이룹니다.
찌그러진 삼각형에서도 완벽한 정삼각형이 나옵니다. 1899 년 모를리가 찾았는데, 2,000 년 동안 아무도 못 봤습니다. 각의 삼등분은 작도할 수 없어서 아무도 그려 볼 생각을 안 했기 때문입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
기하에는 아직 발견되지 않은 것이 남아 있을지 모릅니다.
- 삼각함수 증명 — 사인 법칙을 쓰면 증명할 수 있습니다
- 기하 소프트웨어 — 점을 끌어 보면 정삼각형이 계속 유지됩니다
- 직접 그리기 — 각도기로 삼등분해 그려 보세요. 정말 정삼각형이 나옵니다
이어지는 장
아무 삼각형이나 세 각을 삼등분하면 한가운데에 놀랍게도 정삼각형이 솟아오르는 신비는, 세 변에 정삼각형을 붙여 중심을 이었을 때 정삼각형이 나타나는 정리와 짝을 이룹니다 — 제123장 에서 삼각형 속 정삼각형의 마법을 이어보세요.
영감을 받은 곳
프랭크 모를리(Frank Morley)가 1899년에 발견하고 1900년 파리 프랑스수학회 심포지엄에서 발표한 정리(Morley's Trisector Theorem)에서 왔습니다.