표 하나로 세상을 옮긴다

모눈종이에 점 몇 개로 집을 하나 그립니다. 각 점의 (가로, 세로)를 적어 두세요.

이제 모든 점에 같은 규칙을 먹입니다 — (가로, 세로) → (세로, 가로). 새 자리에 다시 점을 찍고 이어 보세요. 집이 대각선으로 뒤집혀 있습니다.

다른 규칙도 해 보세요. (가로×2, 세로) 는 옆으로 늘어나고, (가로, −세로) 는 위아래로 뒤집힙니다. 규칙 하나가 그림 전체를 옮깁니다.

규칙을 표로 적습니다. 새 가로값과 새 세로값을 각각 옛 두 값으로 만드는 계수 넷이면 됩니다.

는 라는 뜻입니다.

90도 회전은 이므로 .
확인해 보세요 — 은 로 갑니다. 오른쪽을 가리키던 화살표가 위를 가리킵니다.

두 규칙을 이어서 먹이는 것이 행렬의 곱입니다. 그래서 는 「먼저 , 그다음 」를 뜻합니다.

순서가 바뀌면 결과가 다릅니다. 「90도 돌리고 좌우 뒤집기」와 「좌우 뒤집고 90도 돌리기」를 종이로 해 보면 다릅니다. 그래서 입니다.

행렬식은 그 규칙이 넓이를 몇 배로 만드는지입니다. 0이면 납작하게 눌러 버린 것이라 되돌릴 수 없습니다. 역행렬이 없는 조건이 인 까닭입니다.

어떤 방향은 규칙을 먹여도 방향이 안 바뀌고 길이만 변합니다. 그 방향을 고유벡터, 배율을 고윳값이라 합니다.

페이지랭크가 바로 이것입니다. 「링크를 따라 무작위로 떠도는 사람이 오래 뒤에 각 쪽에 있을 확률」은, 그 확률표를 되풀이 곱해도 더 이상 안 변하는 벡터입니다.

그런 벡터가 있는지, 그리고 하나뿐인지를 보장해 주는 것이 페론–프로베니우스 정리입니다. 구글은 여기에 「가끔은 링크를 안 따르고 아무 데나 뛴다」는 항을 더해 막다른 쪽에 갇히는 것을 막았습니다.

⭐ 제127장 의 「반드시 제자리인 점이 있다」와 형제입니다. 흔들어도 남는 것을 찾는 물음입니다.