마방진
가로 세로 대각선의 합이 같습니다
3×3 모눈종이에 1부터 9까지의 숫자를 하나씩만 써넣어 보세요.
가로 세 줄, 세로 세 줄, 대각선 두 줄을 더했을 때 어느 방향으로 더해도 합이 15로 똑같아지도록 배치할 수 있을까요? 한가운데에는 어떤 숫자가 와야 할까요?
이야기
중국의 옛 이야기에서, 우 임금이 낙수의 물길을 다스릴 때 등에 무늬가 있는 거북이 물에서 올라왔다고 합니다. 그 무늬가 이 아홉 칸이었다고 하여 낙서라 부릅니다. 유럽에서는 1514년 뒤러가 판화 「멜랑콜리아」 안에 네 칸짜리 마방진을 그려 넣었는데, 맨 아랫줄 가운데 두 수가 15와 14 — 그해의 연도였습니다.
그런데 세 칸짜리 마방진은 「여러 개 중 하나」가 아닙니다. 돌리고 뒤집은 것을 같다고 보면 답이 딱 하나뿐입니다. 여덟 가지로 보이는 것은 같은 하나를 돌려 놓은 것입니다.
가운데가 5인 까닭은 셈으로 나옵니다. 가운데 칸을 지나는 줄은 가로·세로·대각선 넷입니다. 네 줄의 합은 15×4 = 60입니다.
그런데 이 네 줄은 아홉 칸을 한 번씩 덮으면서 가운데만 세 번 더 셉니다. 1부터 9까지의 합이 45이므로 45 + 3×가운데 = 60이고, 따라서 가운데는 5일 수밖에 없습니다.
실용은 거의 없습니다. 부적과 놀이로 오래 쓰였을 뿐입니다.
그래도 남긴 것이 있습니다. 「모든 줄의 합이 같게 배치하기」는 실험 설계의 라틴 방진으로 이어졌고, 그것이 지금 농약 시험·신약 시험에서 조건을 공평하게 나누는 방법이 되었습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
3×3 을 직접 채워 본다
가로 세 칸, 세로 세 칸 아홉 개 방에 1부터 9까지 바둑알을 놓아 봅니다. 가로, 세로, 대각선 여덟 줄의 합이 모두 같아져야 합니다.
가장 중요한 자리는 정중앙입니다. 네 개의 줄이 한꺼번에 지나가는 정중앙에 5를 놓고, 짝수(2, 4, 6, 8)를 네 모퉁이에 배치하면 합이 15로 딱 맞아떨어지는 마법 같은 배치가 완성됩니다.
마방진의 합을 구해 보세요
모든 수의 합을 줄 수로 나누면 바로 나옵니다.
한가운데가 5 인 까닭
1부터 9까지의 전체 합은 입니다. 세 행의 합이 모두 같아야 하므로 한 줄의 합(마법 상수)은 반드시 여야 합니다.
중앙의 수를 라 하면, 중앙을 지나는 4개 줄의 합을 모두 더했을 때 이 됩니다. 1부터 9까지의 합 45에 가 더해진 값이므로 에서 가 필연적으로 도출됩니다.
몇 가지나 있을까요
6×6 은 아직 정확히 세지도 못했습니다.
홀수 차수 만드는 법
마방진의 1부터 까지의 합은 이며, 한 줄의 마법 상수 은 이 됩니다.
홀수 차수( 이 홀수) 마방진은 시암 방법(대각선으로 1씩 올리며 칸을 채우는 드 라 루베르 알고리즘)으로 항상 구성할 수 있습니다. 조선의 수학자 최석정은 9×9 지수귀문관 및 라틴 방진을 세계 최초로 창안했습니다.
홀수 크기는 쉽게 만듭니다
시암 방법이라 부릅니다.
군과 라틴 방진
마방진의 수학적 구조는 선형대수학의 아핀 부분공간(Affine Subspace) 및 다면체 조합론의 버코프 폴리토프(Birkhoff Polytope) 이론으로 일반화됩니다. 마방진 조건은 선형 연립방정식 체계로 나타납니다.
직교 라틴 방진(Graeco-Latin Square) 이론은 오일러의 36 장교 문제를 거쳐 현대 실험계획법(Design of Experiments), 암호학의 S-box 설계 및 부호 이론의 핵심 기반이 됩니다.
낙서 — 하도와 낙서
「낙서」는 기원전 중국의 거북 등에서 나왔다고 전합니다.
풀어 보기
마방진의 마법 상수와 중앙값. 마방진에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 1부터 16까지의 수를 채우는 4×4 마방진의 한 줄의 합(마법 상수) 를 계산하시오.
(2) 3×3 마방진에서 중앙에 위치한 수가 왜 5여야만 하는지 한 줄의 합(15)과 전체 합(45)을 이용하여 서술하시오.
(3) 3×3 마방진에서 네 귀퉁이에 들어갈 수 있는 수들이 모두 짝수(2, 4, 6, 8)임을 확인하시오.
(1) 4 × 17 / 2 = 34 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2) 가운데 칸은 가로·세로·대각선 두 줄 — 모두 네 줄에 들어갑니다.
그 네 줄의 합은 인데, 이때 전체 아홉 수(합 45)를 한 번씩 세고 가운데 수는 세 번 더 센 셈입니다.
(3) 귀퉁이 칸은 세 줄(가로·세로·대각선)에 들어갑니다. 귀퉁이에 홀수를 넣으면 그 줄들의 합을 15(홀수)로 맞출 수 없게 되어 모순이 생깁니다.
따져 보면 귀퉁이는 2, 4, 6, 8 이고 변 가운데는 1, 3, 7, 9 입니다.
이렇게 조여 가면 답이 하나로 정해집니다. 놓을 자리마다 줄의 합이 15 라는 조건에 묶여 있어 고를 여지가 남지 않기 때문입니다. 돌리고 뒤집은 것을 같다고 보면 3×3 마방진은 단 하나뿐입니다. (4×4 는 880 가지, 5×5 는 2 억 7 천만 가지가 넘습니다.)
더 멀리
마방진은 놀이면서 조합론의 입구입니다.
- 스도쿠 — 라틴 방진이라는 사촌에서 나온 놀이입니다
- 실험 설계 — 조건을 고르게 배치할 때 방진을 씁니다
- 뒤러의 판화 — 「멜랑콜리아 I」에 4×4 마방진이 그려져 있고, 아래 줄 가운데 두 칸이 제작 연도입니다
이어지는 장
가로·세로·대각선의 합이 모두 같아지도록 숫자를 배치하는 마방진의 배열 원리는, 가로와 세로 줄마다 숫자가 겹치지 않게 배열하여 현대의 스도쿠 퍼즐로 진화한 라틴 방진의 아이디어와 직결됩니다 — 제75장에서 격자 위 숫자들의 절묘한 자리바꿈 규칙을 즐겨보세요.
영감을 받은 곳
고대 중국 하나라 우왕 시대 낙수에서 나온 거북의 등껍질에 새겨진 점무늬 설화인 『낙서』(洛書, 기원전 2000년경 전승)와, 알브레히트 뒤러가 1514년 동판화 「멜랑콜리아 I」에 새긴 4×4 마방진 기록에서 유래했습니다.