소리와 수
팽팽한 줄을 반으로 튕깁니다
기타나 가야금 줄을 그냥 튕겨 보고, 줄의 한가운데를 손가락으로 누른 뒤 튕겨 보세요.
맑고 높은 소리가 나며 처음 음과 완벽하게 어울립니다. 줄의 길이를 2대 1, 3대 2, 4대 3으로 나누었을 때 귀가 가장 편안함을 느끼는 까닭은 무엇일까요?
이야기
피타고라스가 대장간 앞을 지나다 망치 소리가 어울리는 것을 듣고 이 비를 찾았다는 이야기가 전해집니다. 그런데 이 이야기는 물리적으로 틀렸습니다. 망치 무게와 소리의 높이는 그런 관계가 아닙니다. 줄에서는 맞고 망치에서는 맞지 않습니다.
그리고 더 큰 문제가 있습니다. 완전5도(2:3)를 열두 번 쌓아 올리면 일곱 옥타브가 되어야 하는데, 딱 맞지 않고 조금 넘칩니다. 그 어긋난 틈을 「피타고라스 콤마」라 합니다. 간단한 정수비만으로는 한 바퀴가 닫히지 않는 것입니다.
그래서 오늘의 피아노는 모든 음을 조금씩 어긋나게 조율합니다. 이것을 평균율이라 합니다. 어느 조로 옮겨도 똑같이 쓸 수 있게 만드는 대신, 어느 화음도 완벽하지는 않게 만든 것입니다. 조금씩 손해 보고 두루 쓰는 쪽을 고른 셈입니다.
왜 간단한 비가 잘 어울릴까요. 짧은 줄은 더 자주 떨리기 때문입니다. 길이가 절반이면 떨림이 두 배로 잦습니다.
두 소리의 떨림 횟수가 2대 1이나 3대 2처럼 간단하면 마루가 자주 겹칩니다. 겹치는 자리가 촘촘하면 귀가 하나의 소리처럼 듣고, 어긋나면 웅웅거리는 울렁임으로 듣습니다.
지금 쓰는 음계가 여기서 나왔습니다. 줄 길이의 비가 간단할수록 어울려 들린다는 발견이 화음의 뿌리입니다.
디지털 악기와 조율 앱이 그 비를 계산해 소리를 만들고, 소음을 지우는 기술도 파동의 겹침을 다룹니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
고무줄·병으로 소리를 내 본다
유리병 여러 개에 물의 양을 다르게 채우고 숟가락으로 톡톡 두드려 보세요. 물이 적은 병은 높은 소리가 나고 물이 많은 병은 낮은 소리가 납니다.
물통의 높이나 줄의 길이에 따라 소리의 높낮이가 정해집니다. 손으로 직접 두드려 보며 길이와 소리의 높낮이 사이에 어떤 규칙이 있는지 귀로 느껴 보세요.
현을 반으로 잘라 보세요
간단한 정수비가 아름다운 소리를 냅니다 — 피타고라스의 발견입니다.
길이의 비와 음정
피타고라스는 대장간의 쇠망치 소리를 듣고 소리와 정수 비의 관계를 발견했습니다. 줄의 길이를 로 줄이면 진동수가 2배가 되어 한 옥타브 높은 음이 됩니다.
길이를 로 줄이면 진동수가 배가 되어 가장 조화로운 완전 5도(도와 솔) 소리가 납니다. 아름다운 화음의 정체는 단순한 정수 비율이었습니다.
5 도를 쌓아 보세요
(3/2)¹² = 129.746 인데 2⁷ = 128 입니다.
평균율과 12√2
완전 5도( 배)를 12번 쌓아 올린 음과 옥타브(2배)를 7번 쌓아 올린 음은 과 로 약간 어긋납니다. 이 오차를 피타고라스 콤마라고 합니다.
모든 조옮김에서 화음이 고르게 어울리도록 한 옥타브를 12등분하여 반음의 진동수 비를 로 정한 체계가 12평균율입니다.
피타고라스 콤마
이 틈 때문에 완벽한 조율은 불가능합니다.
푸리에
소리의 물리적 본질은 공기의 파동 방정식(Wave Equation) 의 해입니다. 악기마다 다른 음색(Timbre)은 기본 진동수와 고조파(Harmonics)의 중첩으로 표현됩니다.
조제프 푸리에는 모든 주기 함수가 사인과 코사인의 급수로 분해된다는 푸리에 해석(Fourier Analysis)을 확립했습니다. 오늘날 디지털 오디오(MP3), 음성 인식, 신호 처리 압축 알고리즘의 심장입니다.
평균율의 타협
53 등분이면 훨씬 정확하지만 연주가 불가능합니다.
풀어 보기
음정의 진동수 비와 평균율. 기준음 '도'()의 진동수를 260 Hz 라 하자.
(1) 한 옥타브 위의 '도'()의 진동수를 구하시오.
(2) 순정률에서 '도'와 완전 5도를 이루는 '솔'()의 진동수 비가 일 때, '솔'의 진동수를 구하시오.
(3) 12평균율에서 반음 올라갈 때마다 진동수가 배가 된다. 12반음(한 옥타브) 올라갔을 때의 진동수 확대율 의 값을 구하시오.
(2) 260 × (3/2) = 390 Hz 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 한 옥타브 위는 진동수가 두 배이므로
(2)
(3)
열두 반음을 다 오르면 정확히 두 배 — 한 옥타브가 됩니다.
여기에 오래된 다툼이 있습니다. 순정률의 완전 5도는 정확히 인데, 평균율에서는 입니다. 아주 조금 어긋납니다.
5 도를 열두 번 쌓아 올리면 이고 일곱 옥타브는 이라 제자리로 돌아오지 않습니다. 이 틈을 「피타고라스 콤마」라 부릅니다. 평균율은 그 틈을 열두 조각으로 고르게 나눠 감춘 타협입니다.
더 멀리
소리와 수는 지금도 붙어 있습니다.
- 악기 조율 — 평균율은 12제곱근 2를 쓴 결과입니다
- 음향 공학 — 소리를 여러 진동수의 합으로 나누어 다룹니다
- 직접 해 보기 — 물을 다르게 담은 병들을 두드려 음계를 만들어 보세요
이어지는 장
현의 길이를 2분의 1로 줄일 때마다 한 옥타브씩 높아지는 소리의 수리적 비례는, 고대부터 조화로운 시각적 균형을 설명할 때 즐겨 인용되던 황금비의 신화와 진실을 파헤치는 물음으로 이어집니다 — 제83장에서 청각의 조화와 시각적 아름다움의 수학적 진실을 견주어 보세요.
영감을 받은 곳
기원전 6세기 피타고라스가 일현금(모노코드) 실험을 통해 현의 길이 비(1:2 옥타브, 2:3 완전5도, 3:4 완전4도)와 음정의 조화를 밝혀낸 일화(니코마코스의 『화성론 매뉴얼』 전승)에서 유래했습니다.