코흐 눈송이
둘레는 무한 넓이는 유한
정삼각형의 세 변마다 가운데 3분의 1을 불룩 솟아오른 작은 정삼각형으로 바꿔 보세요. 그 솟아난 변마다 똑같은 작업을 끝없이 되풀이합니다.
눈송이처럼 아름다운 곡선이 만들어집니다. 둘레의 길이는 한없이 길어져 무한대가 되는데, 왜 전체 넓이는 일정한 크기에 갇혀 있을까요?
이야기
Olof Edlund, Bookseller (SVAF)
Public domain · 위키미디어 공용
1904년 스톡홀름의 헬리에 폰 코흐가 이 곡선을 그린 데는 까닭이 있었습니다. 삼십 년 앞서 바이어슈트라스가 「어디에서도 매끄럽지 않은 곡선」이 있다는 것을 증명했는데, 그것은 식으로만 존재하는 괴물이었습니다. 아무도 그릴 수 없었습니다.
그런데 코흐는 그것을 초등학생도 그릴 수 있게 만들었습니다. 자와 연필만 있으면 됩니다. 「그릴 수 없는 것」을 「그릴 수 있는 것」으로 바꾼 것입니다.
둘레는 무한한데 왜 넓이는 갇힐까요. 한 번 할 때마다 덧붙는 삼각형의 수는 4배가 되지만, 넓이는 9분의 1로 줄어들기 때문입니다.
그러니 회마다 늘어나는 넓이는 9분의 4씩 작아지는 등비수열입니다. 1보다 작은 비율로 줄어드는 등비급수는 아무리 더해도 어떤 값을 넘지 못합니다. 그래서 넓이는 처음 삼각형의 5분의 8에서 멈춥니다.
둘레는 3분의 4씩 늘어납니다. 1보다 큰 비율이라 끝없이 커집니다. 같은 도형에서 하나는 멈추고 하나는 달아나는 까닭이 여기 있습니다.
휴대전화 안테나에 쓰입니다. 프랙탈 모양으로 접으면 작은 자리에 긴 선을 넣을 수 있어, 여러 주파수를 한 안테나로 받습니다.
지금 손에 든 기기 안에 이런 모양의 안테나가 들어 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
삼각형에 삼각형을 붙여 그려 본다
정삼각형을 그리고 각 변의 가운데 3분의 1 토막 위에 작은 삼각형을 덧붙여 봅니다. 원래 변 1개가 4개의 작은 변으로 바뀝니다.
단계를 거듭할 때마다 뾰족뾰족한 눈송이 모양이 피어납니다. 둘레는 접힐 때마다 3분의 4배씩 계속 길어지지만, 그림 전체는 처음 삼각형을 둘러싼 동그라미 밖으로 절대 벗어나지 않습니다.
변을 셋으로 나눠 뿔을 세워 보세요
되풀이할수록 둘레가 무한히 길어집니다.
둘레가 4/3 배씩 늘어나는 것
한 변을 3등분하고 가운데에 정삼각형을 올리면 선분의 길이가 원래의 배로 늘어납니다. 단계에서 코흐 곡선의 둘레는 이 됩니다.
이므로 단계를 무한히 반복하면 둘레 가 되어 무한대가 됩니다. 유한한 공간 안에 갇혀 있으면서 길이가 무한한 기묘한 곡선입니다.
둘레는 무한, 넓이는 유한
무한한 울타리가 유한한 땅을 두릅니다.
무한등비급수로 넓이 구하기
처음 정삼각형의 넓이를 라 할 때, 단계에서 새로 더해지는 작은 삼각형들의 넓이의 합은 등비수열을 이룹니다.
무한등비급수를 계산하면 전체 넓이는 이 됩니다. 둘레는 무한히 발산하지만 넓이는 원래 삼각형의 정확히 1.6배로 수렴합니다.
차원을 재 보세요
차원이 정수가 아닐 수 있습니다.
하우스도르프 차원
코흐 곡선은 모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능한 곡선(Weierstrass-like curve)의 대표적 기하학적 모델입니다. 자기유사성(Self-similarity)을 가지는 프랙탈 구조입니다.
길이를 로 축소할 때 똑같은 조각 4개가 생기므로, 하우스도르프 프랙탈 차원은 입니다. 1차원 선과 2차원 면 사이의 분수 차원을 가집니다.
차원이 곧 「빽빽함」입니다
차원은 「크기를 늘렸을 때 얼마나 불어나나」 입니다.
풀어 보기
코흐 눈송이의 둘레와 급수. 한 변의 길이가 1인 정삼각형(둘레 , 넓이 )에서 시작한다.
(1) 1단계에서 변의 총 개수와 둘레의 길이 을 구하시오.
(2) 단계에서 둘레의 길이 의 일반항을 구하고, 일 때 둘레의 극한값을 구하시오.
(3) 최종 눈송이의 전체 넓이가 로 수렴함을 무한등비급수 공식을 통해 확인하시오.
(1) 변의 개수는 3 × 4 = 12개, 각 변의 길이는 1/3 이므로 L₁ = 12 × (1/3) = 4 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 변마다 가운데를 셋으로 나눠 삼각형을 세우면 변이 네 배가 됩니다.
변의 개수 , 각 변의 길이 이므로
(2) 한 단계마다 변은 4 배, 길이는 배이므로 둘레는 배가 됩니다.
이므로 일 때 — 둘레는 무한대로 갑니다.
(3) 단계마다 새 삼각형이 개 생기고 각 넓이는 입니다. 더하면
둘레는 무한한데 넓이는 유한합니다. 종이 위에 손바닥만 하게 그릴 수 있는 도형인데, 그 테두리를 따라가면 끝이 없습니다.
더 멀리
이런 도형을 프랙탈이라 합니다.
- 해안선 — 자를 짧게 잡을수록 길어지는 것이 같은 이치입니다
- 안테나 — 좁은 자리에 긴 길이를 넣으려고 프랙탈 모양을 씁니다
- 직접 그리기 — 세 번만 되풀이해도 눈송이 모양이 보입니다
이어지는 장
유한한 면적 속에 무한한 둘레를 품고 있는 코흐 눈송이의 역설은, 현실 세계에서 영국이나 한반도의 해안선을 어떤 자로 측정하느냐에 따라 총길이가 끝없이 늘어나는 해안선 역설의 수학적 모델이 됩니다 — 제49장에서 프랙탈 차원이 설명하는 자연의 형태를 관찰해 보세요.
영감을 받은 곳
스웨덴의 수학자 헬게 폰 코흐(Helge von Koch)가 1904년 프랑스 수학회보에 발표한 논문 「접선을 갖지 않고 초등 기하학으로 작도 가능한 연속 곡선에 관하여」에서 처음 제안했습니다.