여섯 다리만 건너면
여섯 다리면 세상 모두와 이어집니다
공책에 나와 가장 친한 친구 30명의 이름을 적어 보세요. 그 친구들도 각자 30명의 친구를 알고 있습니다.
친구의 친구, 다시 그 친구로 다리를 놓아가면 단 여섯 단계 만에 지구상 80억 인구 전체와 연결될 수 있을까요? 거대한 지구가 어떻게 한 줌 손바닥처럼 좁아지는지, 이 놀라운 네트워크의 비밀은 무엇일까요?
이야기
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1967년, 하버드의 스탠리 밀그램이 미국 중서부 사람들에게 편지 뭉치를 돌립니다. 「보스턴에 사는 이 사람에게 전해 주십시오. 다만 직접 아는 사람을 통해서만 보내야 합니다.」
그런데 이 실험에는 사람들이 잘 모르는 사실이 있습니다. 보낸 편지 296통 가운데 도착한 것은 64통뿐이었습니다. 나머지는 도중에 끊겼습니다. 「여섯 다리」는 도착한 것들만의 평균입니다.
그러니 「여섯 다리면 누구든 닿는다」는 말은 실험이 보인 것보다 훨씬 세게 나간 말입니다.
그래도 짧은 것은 사실입니다. 까닭은 곱절로 불어나기 때문입니다. 한 사람이 백 명을 안다면 두 다리에 만 명, 세 다리에 백만 명, 여섯 다리면 일조 명이 됩니다.
다만 여기에 조건이 붙습니다. 아는 사람이 모두 내 동네 사람이면 아무리 곱해도 동네를 못 벗어납니다. 멀리 사는 친구 한둘이 있어야 그 다리가 단번에 건너뜁니다. 그 몇 안 되는 먼 인연이 세상을 좁게 만듭니다.
소셜 네트워크의 구조가 이것입니다. 실제로 페이스북에서 두 사람 사이는 평균 네 다리 남짓입니다.
전염병이 왜 그렇게 빨리 퍼지는지, 소문과 유행이 왜 순식간에 도는지가 같은 이유입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
아는 사람을 세어 그려 본다
나를 중심으로 친구 5명을 그리고, 그 친구들 밑에 다시 각자의 친구 5명을 그려 봅니다. 단계가 넘어갈 때마다 수가 5, 25, 125, 625로 어마어마하게 불어납니다.
한 단계만 건너뛰어도 숫자가 곱하기로 순식간에 커지는 힘을 공책에 직접 수를 세어가며 느껴보세요.
아는 사람의 아는 사람
그래서 「여섯 다리」 입니다.
거듭제곱으로 늘어나는 것
한 사람이 평균 50명의 지인을 알고 있다고 가정해 봅시다. 1단계는 50명, 2단계는 2500명, 3단계는 12만 5천 명, 6단계만 가도 억 명이 됩니다.
물론 겹치는 사람이 많지만, 동네 친구들끼리의 끈끈한 모임 사이에 아주 가끔 먼 곳으로 이어지는 징검다리 친구(지름길)가 몇 개만 섞여 있어도 전체 네트워크의 평균 이동 거리는 기적처럼 급격히 짧아집니다.
몇 단계면 될까요
그래서 세상이 커져도 좁습니다.
평균 경로 길이
1998년 던컨 와츠와 스티븐 스트로가츠는 이 현상을 작은 세상 네트워크(Small-World Network) 모델로 수학적으로 규명했습니다.
격자망처럼 높은 군집 계수(Clustering Coefficient)를 유지하면서도, 아주 적은 비율의 무작위 재연결(지름길)만 추가되면 네트워크의 지름(평균 경로 길이)이 노드 수 의 로그 스케일 로 축소됨을 증명했습니다.
겹치는 친구를 빼면
그런데 멀리 아는 사람 몇 명만 있으면 다시 확 줄어듭니다.
네트워크 과학
스탠리 밀그램의 1967년 편지 전달 실험에서 시작된 이 이론은 현대 복잡계 네트워크 과학(Network Science)의 기둥이 되었습니다.
소셜 미디어 알고리즘, 인터넷 웹페이지 랭킹, 전염병의 세계적 확산 경로 예측, 뇌 신경망의 시냅스 연결 효율성 분석까지 세상의 모든 연결망을 해석하는 표준 패러다임으로 사용됩니다.
다리 몇 개면 좁아집니다
그러면서도 이웃끼리 뭉친 성질은 그대로 남습니다.
풀어 보기
네트워크와 지름길. 어떤 사회에서 모든 사람이 중복 없이 서로 다른 40명의 새로운 사람을 1단계마다 연결한다고 하자.
(1) 3단계 만에 도달할 수 있는 사람의 총 수를 거듭제곱과 값으로 계산하시오.
(2) 노드 수가 인 작은 세상 네트워크에서 평균 경로 길이 은 에 대해 대략 어떤 함수 형태로 비례하여 증가하는가?
(3) 높은 군집도(끼리끼리 뭉침)를 유지하면서도 전체 거리를 획기적으로 줄여주는 소수의 먼 연결선을 무엇이라 부르는가?
(1) 명입니다. (2) 로그 함수()에 비례합니다.
답과 풀이 보기
(1) 명입니다.
1 단계 40 명 → 2 단계 명 → 3 단계 명.
여섯 단계면 — 지구 인구를 넘어섭니다.
(2) 로그 함수에 비례합니다 — .
사람이 백 배 늘어도 거리는 두 배 남짓밖에 늘지 않습니다. 세상이 아무리 커져도 가깝게 남는 까닭입니다.
(3) 지름길(shortcut)이라 합니다. 사회학에서는 약한 연결(weak tie)이라 부릅니다.
1998 년 와츠와 스트로가츠는 촘촘한 고리에서 연결선을 백에 한 개만 멀리 옮겨 붙여도 평균 거리가 뚝 떨어지는 것을 보였습니다.
1973 년 그래노베터는 일자리를 어떻게 구했는지 물었습니다. 가장 많은 답은 친한 친구가 아니라 가끔 보는 사람이었습니다. 친한 사람은 나와 같은 것을 알고, 먼 사람이 새 소식을 물어 옵니다.
더 멀리
「작은 세상」 구조는 곳곳에 있습니다.
- 감염병 확산 — 먼 곳으로 가는 비행기 몇 편이 세계를 잇습니다
- 인터넷과 뇌 — 웹 문서와 신경세포도 같은 성질을 보입니다
- 직접 해 보기 — 친구의 친구를 그려 나가면 몇 다리 만에 아는 사람이 겹칩니다
이어지는 장
전 세계 80억 인구가 불과 대여섯 다리 건너면 모두 연결되는 거대한 네트워크의 지름길 구조는, 도시들을 잇는 최적의 연결망을 탐색하는 제52장 과 함께 현대 그래프 이론의 강력한 응용력을 생생하게 보여 줍니다.
영감을 받은 곳
헝가리 작가 프리제시 커린티(Frigyes Karinthy)가 1929년 단편 소설 『사슬』(Láncszemek)에서 제안하고, 1967년 스탠리 밀그램(Stanley Milgram)의 편지 실험을 거쳐 1998년 던컨 와츠와 스티븐 스트로가츠의 네이처 논문으로 정립된 '작은 세상 현상'에서 왔습니다.