카프리카 상수 6174
네 자리 숫자를 빼 보세요
모든 숫자가 같지 않은 네 자리 수 하나를 고릅니다. 자리 숫자를 큰 순서대로 늘어놓은 수에서 작은 순서대로 늘어놓은 수를 뺍니다.
나온 답으로 이 과정을 되풀이해 보세요. 아무리 제멋대로인 수로 시작해도 최대 7번 만에 반드시 6174에 도달하여 멈춥니다. 왜 6174는 모든 수를 끌어당길까요?
이야기
네 자리 수를 하나 고르세요. 다만 네 자리가 모두 같은 수(1111 같은 것)는 안 됩니다.
그 수의 자릿수를 큰 차례로 늘어놓아 하나, 작은 차례로 늘어놓아 하나를 만듭니다. 큰 것에서 작은 것을 뺍니다. 나온 답으로 같은 일을 되풀이합니다.
어떤 수로 시작해도 일곱 걸음 안에 한 수에 닿습니다. 그리고 거기서 멈춥니다. 그 수가 6174입니다.
6174에서 한 번 더 해 보세요. 7641 − 1467 = 6174. 자기 자신으로 돌아옵니다. 그래서 더 갈 데가 없습니다.
이것을 찾은 사람은 인도의 수학 교사 D. R. 카프리카입니다. 큰 기계도 어려운 이론도 필요 없었습니다. 종이와 연필, 그리고 “되풀이하면 어떻게 될까”라는 물음뿐이었습니다.
🚩 그런데 이것을 찾은 사람은 대학의 수학자가 아니었습니다. 인도 데블랄리의 시골 학교 교사 카프리카였습니다. 그는 평생 정규 연구직을 가진 적이 없고, 당대 수학자들은 그의 발견을 「하찮은 숫자 놀음」이라 여겼습니다. 정작 오늘 그 이름이 붙은 수는 세계의 교실에서 쓰이고 있습니다.
실생활에 쓰이는 곳은 거의 없습니다. 이것은 쓸모가 아니라 놀라움으로 값진 수입니다.
다만 「어떤 수로 시작해도 같은 곳에 닿는다」는 성질은 되풀이하면 한 점으로 모이는 계산의 가장 쉬운 보기라, 컴퓨터로 근사값을 구하는 원리를 처음 배울 때 씁니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
큰 수에서 작은 수 빼기를 되풀이한다 — 반드시 6174
생일이나 전화번호 뒤 4자리처럼 서로 다른 숫자가 섞인 네 자리 수를 적습니다. 예를 들어 5238이면 가장 큰 수 8532에서 가장 작은 수 2358을 뺍니다.
8532 - 2358 = 6174가 나옵니다. 만약 다른 수로 시작해도 3번이나 5번쯤 빼기를 반복하면 마치 블랙홀처럼 6174라는 마법의 수로 빨려 들어가 멈춥니다.
네 자리 수를 넣어 보세요
네 자리가 모두 같은 수(1111 같은)만 빼면, 일곱 걸음 안에 반드시 닿습니다.
왜 멈추나·몇 번 만에 닿나
인도의 수학자 카프리카가 1949년에 발견한 성질입니다. 6174로 같은 뺄셈을 하면 7641 - 1467 = 6174 가 되어 자기 자신으로 되돌아옵니다.
0부터 9까지의 네 자리 수로 만들 수 있는 수열은 유한하며, 자리수 분해를 통해 검증하면 0000과 같은 예외를 제외한 모든 수가 최대 7단계 이내에 6174에 도달합니다.
몇 걸음이나 걸릴까요
9985 · 1000 처럼 자릿수 차가 큰 것부터 재 보세요.
자리 나눔으로 경우 세기
네 자리 숫자를 라 하면 뺄셈의 결과는 로 정리됩니다. 가능한 차이의 조합 는 불과 수십 가지 경우로 축소됩니다.
이 이산동역학계(Discrete Dynamical System)에서 6174는 유일한 안정적 고정점(Fixed point)이며, 모든 네 자리 수 공간은 6174의 흡인 영역(Basin of attraction)에 속합니다.
왜 6174 에서 멈출까요
이런 수를 고정점이라 합니다. 네 자리에서는 이것 하나뿐입니다.
고정점과 흡인 영역
카프리카 연산은 기수법(Base-B representation)과 유한 상태 오토마타의 동역학 연구로 확장됩니다. 3자리에서는 495가 유일한 고정점이지만, 5자리 이상에서는 고정점이 없거나 주기 궤도(Cycle)를 형성합니다.
이는 십진법 자릿수 변환 사상 하에서의 에르고딕 궤도 분류 및 p-진수 해석학(p-adic analysis)의 흥미로운 주제입니다.
세 자리·다섯 자리는 어떨까요
그런데 다섯 자리에는 고정점이 없습니다 — 대신 여러 개의 고리를 돕니다. 자릿수마다 살림이 다릅니다.
풀어 보기
카프리카 연산의 수렴 과정. 네 자리 수 에 대하여 카프리카 연산(자리수를 내림차순으로 배열한 수에서 오름차순으로 배열한 수를 빼는 규칙)을 적용하려 한다.
(1) 2026 의 자리수를 큰 순서와 작은 순서로 각각 배열하시오.
(2) 첫 번째 연산의 결과 을 구하시오.
(3) 같은 연산을 6174 가 나올 때까지 이어 가고, 몇 번 만에 닿는지 쓰시오.
2026 은 여섯 번 만에 6174 에 닿습니다. 세 번으로는 아직 1998 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 큰 순서 6220, 작은 순서 0226
(2)
(3) 이어서 셈하면
→ → → →
2026 은 여섯 번 만에 6174 에 닿습니다. 일단 6174 가 되면 로 제자리입니다.
네 자리 수는 자릿수가 모두 같은 것(1111 같은 것)만 아니면 일곱 번 안에 반드시 6174 에 닿습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「되풀이하면 한 자리로 모인다」는 생각은 넓게 쓰입니다.
- 고정점 — 아무리 되풀이해도 변하지 않는 자리를 수학에서는 고정점이라 합니다
- 반복 계산 — 컴퓨터가 답을 구할 때 값을 넣고 또 넣어 한 자리로 모이게 합니다
- 세 자리 수로도 해 보세요. 그때는 495에 닿습니다
이어지는 장
어떤 네 자리 수로 시작해도 동일한 셈을 반복하면 필연적으로 6174로 빨려 들어가는 과정은, 단순한 연산을 거쳐 모두 1로 수렴한다는 유명한 미해결 난제와 쌍둥이처럼 닮았습니다 — 제66장에서 또 다른 수의 모험을 떠나보세요.
영감을 받은 곳
인도의 수학 교사 D. R. 카프레카가 1949년 마드라스 수학회에서 발표한 논문 「자릿수 반전에 관한 문제」에서 처음 제안했습니다.