피타고라스 정리
3과 4와 5로 끈을 묶어 보세요
매듭을 같은 간격으로 12개 묶은 끈을 준비하여 변의 길이가 3칸, 4칸, 5칸이 되도록 팽팽하게 당겨 삼각형을 만듭니다.
코너의 각을 재어 보면 거짓말처럼 반듯한 90도 직각이 열립니다. 왜 정사각형 셋을 붙이면 두 넓이의 합이 빗변의 넓이와 완벽히 맞아떨어질까요?
이야기
The original uploader was Galilea at Ger
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끈에 매듭을 열두 개 같은 간격으로 짓고, 세 사람이 3·4·5 매듭 자리를 잡아 팽팽히 당겨 보세요. 직각이 저절로 생깁니다. 고대 이집트 사람들이 밭의 모서리를 잡던 방법으로 전해집니다.
왜 3·4·5일까요? 이기 때문입니다. 직각삼각형에서 짧은 두 변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱이 됩니다.
이 사실은 피타고라스보다 훨씬 앞서 바빌로니아와 중국에서도 알고 있었습니다. 다만 “왜 늘 그런가”를 증명한 것이 그리스 사람들의 몫이었습니다.
증명은 수백 가지가 있습니다. 그 가운데 가장 아름다운 것은 넓이로 보는 것입니다. 큰 정사각형 안에 같은 직각삼각형 네 개를 두 가지 방법으로 놓아 보면, 남는 빈 자리가 한쪽은 , 다른 쪽은 입니다. 같은 자리를 두 가지로 센 것이니 둘은 같습니다.
🚩 그런데 피타고라스가 이것을 증명했다는 기록은 어디에도 없습니다. 게다가 바빌로니아 점토판에는 천이백 년 앞서 이 관계가 쓰여 있고, 중국의 『주비산경』에도, 인도의 『술바수트라』에도 따로 나옵니다. 중국에서는 이것을 구고정리라 부릅니다. 세계 여러 곳이 각자 발견한 것을 우리는 한 사람의 이름으로 부르고 있는 셈입니다.
거리를 재는 모든 곳에 있습니다. 화면 위 두 점 사이, 위성과 나 사이, 데이터 두 개가 얼마나 다른지 — 전부 이 식으로 잽니다.
인공지능이 「이 사진이 저 사진과 얼마나 비슷한가」를 판단하는 것도 결국 피타고라스 거리입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
3·4·5 로 직각을 만들어 본다
모눈종이에 가로 3칸, 세로 4칸인 직각삼각형을 그립니다. 빗변의 길이를 자로 재면 정확히 5칸입니다.
세 변 위에 각각 정사각형을 그리면 넓이가 9칸, 16칸, 25칸이 됩니다. 작은 두 정사각형을 잘라 모으면 가장 큰 정사각형을 빈틈없이 꼭 채웁니다(9 + 16 = 25).
세 변으로 정사각형을 그려 보세요
3·4·5 를 넣어 보세요 — 9 + 16 = 25 로 딱 떨어집니다.
넓이로 증명(여러 가지)
직각삼각형의 두 직각변을 , 빗변을 라 하면 이 성립합니다.
한 변의 길이가 인 큰 정사각형 안에 직각삼각형 4개를 배치하면 가운데에 넓이 인 빈 정사각형이 남습니다. 전체 넓이에서 삼각형 4개를 빼어 전개하면 등식이 한눈에 증명됩니다.
직각인지 아닌지 알아보세요
피타고라스는 「같다」만 말하지만, 그 부호가 각의 종류를 알려 줍니다.
코사인 법칙으로 넓히기
직각이 아닌 일반 삼각형에서는 코사인 법칙 로 일반화됩니다. 일 때 이 되어 피타고라스 정리가 자연스럽게 복원됩니다.
좌표평면에서 두 점 사이의 거리 공식 은 피타고라스 정리의 직접적인 산물입니다.
코사인법칙으로 넓혀 보세요
피타고라스는 코사인법칙의 한 자리였습니다.
내적과 거리 공간
힐베르트 공간에서 피타고라스 정리는 두 벡터의 직교성()과 동치이며, 노름(Norm)에 대해 으로 표현됩니다.
리만 기하학에서는 미소 거리 선소 로 확장되어 공간의 곡률을 정의하는 계량 텐서(Metric Tensor)의 근간이 됩니다.
차원을 늘려 보세요
차원이 몇이든 √(제곱의 합) — 이것이 유클리드 거리입니다.
풀어 보기
직각삼각형과 피타고라스 수. 직각삼각형 에서 이고 이다.
(1) 빗변 의 길이를 구하시오.
(2) 삼각형 의 넓이를 구하시오.
(3) 점 에서 빗변 에 내린 수선의 발을 라 할 때, 높이 의 길이를 구하시오.
(1) , (3) 넓이에서 입니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2)
(3) 같은 넓이를 빗변으로도 셀 수 있습니다.
(5, 12, 13) 은 세 변이 모두 자연수인 피타고라스 수입니다. 그런데 높이는 자연수가 아닙니다 — 세 변이 예쁘다고 안쪽까지 예쁜 것은 아닙니다. 높이는 넓이의 두 배를 빗변으로 나눈 값이라, 분모에 13 이 그대로 남기 때문입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이 정리는 「거리를 재는 법」 그 자체가 되었습니다.
- 좌표 위의 거리 — 두 점 사이 거리를 구하는 식이 곧 피타고라스입니다
- 위성 측위(GPS) · 화면 픽셀 — 거리 계산이 들어가는 모든 곳에 있습니다
- 건축과 목공 — 직각을 잡을 때 3·4·5는 지금도 현장에서 쓰입니다
이어지는 장
직각삼각형의 세 변을 이루는 제곱수의 합을 세제곱, 네제곱으로 차수를 높여 묻는 순간 인류 역사상 가장 위대한 문제가 태어났습니다 — 제84장에서 358년간의 대장정을 확인해 보세요.
영감을 받은 곳
기원전 6세기 사모스의 피타고라스 학파에 귀속되며, 유클리드의 『원론』 제1권 명제 47에 엄밀한 기하학적 증명이 수록되어 있습니다.