가장 아름다운 식
수학의 다섯 거인이 만난 한 줄
원주율 파이(π), 자연상수 e, 허수단위 i, 그리고 1과 0을 한 줄 위에 나란히 적어 보세요. 기하학, 해석학, 대수학에서 각자 따로 태어난 다섯 숫자입니다.
지수를 올리고 덧셈을 단 한 번 해보세요. 이 됩니다. 우주의 서로 다른 모퉁이에서 자라난 다섯 상수가 어떻게 이렇게 한 치의 오차도 없이 맞물릴까요?
이야기
Jakob Emanuel Handmann
Public domain · 위키미디어 공용
수학에서 가장 중요한 다섯 개의 수를 꼽으라면 대개 이렇습니다.
0(없음) · 1(하나) · π(원) · e(자람) · i(제곱해서 −1)
서로 아무 상관 없어 보입니다. 나온 자리도 시대도 다릅니다.
그런데 이 다섯이 한 줄에 모두 들어가는 식이 있습니다.
덧셈·곱셈·거듭제곱이 한 번씩 쓰이고, 남는 것 없이 딱 떨어집니다. 많은 수학자가 가장 아름다운 식으로 꼽습니다.
뜻은 이렇습니다. 복소수를 곱하는 것은 회전입니다. 는 원 위에서 θ 만큼 돈 자리입니다. θ 가 π 면 반 바퀴 — 1에서 출발해 −1에 닿습니다.
「반 바퀴 돌면 반대편」이라는 당연한 말이, 저 다섯 수의 관계로 적힌 것입니다.
오일러가 1748년에 낸 더 넓은 식 에 θ=π 를 넣으면 나옵니다.
이 식이 성립하는 까닭은 e를 지수로 올리는 일이 회전이기 때문입니다. 허수 i를 지수에 올리면 수가 커지는 것이 아니라 원 위를 도는 것이 됩니다.
각도가 θ만큼 도는 것이므로, θ가 π면 반 바퀴를 돈 것입니다. 1에서 반 바퀴 돌면 −1입니다. 그래서 여기에 1을 더하면 0이 됩니다.
⭐ 다섯 수가 억지로 모인 것이 아니라, 돌기라는 한 가지 뜻에서 저절로 만난 것입니다.
소리와 빛과 전기를 다루는 식은 거의 모두 이 꼴로 씁니다. 회전을 수 하나로 다룰 수 있기 때문입니다.
휴대전화가 전파를 실어 보내는 방식, 음악 파일이 소리를 잘게 쪼개 담는 방식, 사진의 잡티를 지우는 방식이 모두 위에 서 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
특별한 수 다섯을 모아 본다
원 둘레를 잴 때 쓰는 파이(π), 은행 이자를 잘게 쪼갤 때 나오는 e, 제곱해서 마이너스 1이 되는 신기한 수 i를 모읍니다.
아무 상관없어 보이는 다섯 개의 특별한 숫자가 단 하나의 식 안에서 0이라는 완벽한 조화로 만납니다. 세상에서 가장 아름다운 수학 공식이라 불립니다.
e^(iθ) 를 돌려 보세요
e^(iπ) = −1, 곧 e^(iπ) + 1 = 0 입니다.
i 를 곱하는 것은 90도 돌리기
복소평면에서 실수에 를 곱한다는 것은 원점을 중심으로 90도 회전한다는 뜻입니다. 두 번 곱하면 180도 회전하여 이 됩니다.
자연상수 의 복소수 지수는 복소평면 위에서 매끄러운 원운동 회전을 일으킵니다. 각도 (180도)만큼 회전하면 정확히 자리에 도착합니다. 그래서 이 됩니다.
다섯 수가 한 줄에
서로 아무 상관 없어 보이는 다섯이 한 줄로 묶입니다.
회전으로 이해하기
오일러 공식 은 세 함수의 테일러 급수 전개를 통해 완벽하게 일치함이 증명됩니다.
에서 실수부를 모으면 , 허수부를 모으면 가 됩니다. 여기에 를 대입하면 이므로 이 유도됩니다.
왜 회전일까요
지수의 「곱하면 더해진다」가 각의 더하기가 됩니다.
복소지수
오일러의 등식은 복소해석학(Complex Analysis)의 지수함수 매핑과 리 군(Lie Group) 의 단위원 위상 대칭성을 함축합니다. 삼각함수의 진동과 지수함수의 성장을 하나로 묶어 복소평면의 기하학으로 승화시킵니다.
양자역학의 파동함수 , 전기전자공학의 교류 임피던스 페이저(Phasor) 해석, 푸리에 변환의 모든 신호 처리 알고리즘이 이 식 위에서 돌아갑니다.
i^i 는 실수입니다
게다가 값이 무한히 많습니다 — 각이 한 바퀴 돌 때마다 다른 값입니다.
풀어 보기
오일러 공식과 복소지수. 다음 물음에 답하시오.
(1) 오일러 공식 를 이용하여 일 때 의 값을 구하시오.
(2) 임을 이용하여 양변을 제곱하여 얻어지는 의 주값을 구하시오.
(3) 오일러의 등식 에 등장하는 수학의 5대 핵심 상수를 모두 나열하시오.
(1) 입니다. (2) 이므로 (실수)입니다. (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
⭐ 실수를 실수만큼 거듭제곱했는데 허수가 나옵니다. 복소평면에서 는 반지름 1 인 원 위를 도는 점이고, 는 90 도 돌린 자리입니다.
(2) — 실수입니다.
(1) 에서 이므로
확인 :
⭐ 허수를 허수로 거듭제곱했더니 실수가 나왔습니다.
⛔ 다만 '주값'입니다 — 라 값이 무한히 많습니다 (모두 실수입니다).
(3) — 다섯입니다.
· — 자라남의 수 (2.71828…)
· — 없다던 수
· — 원의 수 (3.14159…)
· — 셈의 시작 · — 없음
게다가 덧셈·곱셈·거듭제곱과 등호가 한 번씩만 쓰입니다.
전혀 다른 데서 태어난 다섯 수가 한 줄 안에서 만납니다. 누구도 그렇게 되라고 정하지 않았는데 그냥 그렇습니다.
물리학자 파인만은 이것을 「수학에서 가장 놀라운 공식」이라 불렀습니다. 수학자들에게 가장 아름다운 식을 물으면 늘 1 등으로 뽑힙니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
회전을 수로 다루는 것이 복소수의 힘입니다.
- 파동 — 소리·빛·전기를 다루는 식은 거의 다 이 꼴로 씁니다
- 푸리에 변환 — 어떤 소리든 원 위의 회전들로 쪼갭니다
- 확인 — θ=2π 를 넣으면 — 한 바퀴 돌면 제자리입니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
레온하르트 오일러가 1748년 로잔에서 펴낸 기념비적인 저서 『무한 해석 입문』(Introductio in analysin infinitorum, 제1권) 제8장에서 유도했습니다.