데자르그 정리
그림자가 맺어 준 세 점의 일직선
공중에 점광원 하나를 켜고 삼각형 종이판을 비추어 바닥에 생기는 삼각형 그림자를 관찰하세요. 광원에서 뻗은 직선들이 두 삼각형의 꼭짓점을 둘씩 짝지어 꿰뚫습니다.
이제 두 삼각형의 마주 보는 변들을 길게 연장해 세 개의 교점을 찾아보세요. 공간에서 쏘아 올린 빛의 그림자일 뿐인데 왜 세 교점은 바닥 위에 칼로 그은 듯 반듯한 한 직선을 만들까요?
이야기
미상
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삼각형 둘을 그립니다. 두 삼각형의 대응하는 꼭짓점을 이은 세 직선이 한 점에서 만난다면, 두 삼각형이 한 점에서 바라본 그림자처럼 놓인 것입니다.
이때 대응하는 변끼리 연장해 만나는 점 셋을 찍어 보세요. 한 직선 위에 놓입니다.
거꾸로도 참입니다. 이것이 데자르그 정리입니다. 지라르 데자르그가 17세기에 냈습니다.
재미있는 것은 이 정리에 길이도 각도도 나오지 않는다는 점입니다. 「한 점에서 만난다」와 「한 직선 위에 있다」뿐입니다.
그래서 그림을 아무리 비스듬히 찍어도 참입니다. 사진으로 찍어도, 그림자로 비춰도 그대로입니다.
데자르그는 건축가이자 화가들과 가까웠습니다. 원근법을 수학으로 다루다 이 정리에 이르렀습니다. 그가 연 분야를 사영기하라 합니다.
당대에는 거의 읽히지 않았고, 이백 년 뒤에야 다시 발견되었습니다.
🚩 그런데 데자르그의 책은 아무도 읽지 않았습니다. 그는 「나무·줄기·가지」 같은 식물 용어로 자기만의 말을 만들어 썼고, 글은 지독하게 읽기 어려웠습니다. 동시대 사람들은 손을 들었습니다.
책은 잊혔습니다. 그리고 이백 년 뒤인 1845년, 파리의 한 헌책방에서 누군가 손으로 베낀 필사본을 찾아냅니다. 그렇게 사영기하학이 되살아났습니다.
사진에서 3차원을 복원하는 기술이 이 기하 위에 있습니다. 길이와 각도가 없어도 「한 점에서 만나는가」는 변하지 않습니다.
자율주행차의 카메라, 증강현실, 여러 장의 사진으로 건물 3D 모델을 만드는 일에 그대로 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
손전등 그림자로 삼각형을 본다
손전등 불빛 앞에 삼각형 종이를 들고 벽에 생기는 그림자 삼각형을 봅니다. 손전등 불빛의 한 점에서 모든 꼭짓점이 이어집니다.
원래 종이의 변들과 그림자의 변들을 길게 늘여 만나는 점 세 개를 바닥에 찍어 봅니다. 신기하게도 세 점이 자를 댄 것처럼 완벽하게 일렬로 늘어섭니다.
두 삼각형을 겹쳐 보세요
그리고 그 역도 성립합니다 — 데자르그 정리입니다.
3차원으로 올려다보면 끝난다
두 삼각형이 3차원 공간의 서로 다른 평면 위에 떠 있다고 상상해 보세요. 꼭짓점을 잇는 세 선이 한 점에서 만나면, 대응하는 변들을 연장한 세 직선은 두 평면이 만나는 교선(Intersection Line) 위에 놓이게 됩니다.
두 평면이 만나는 자리는 언제나 하나의 직선입니다. 따라서 세 변의 교점은 무조건 그 교선 위에 있을 수밖에 없습니다. 3차원으로 올려다보면 증명이 저절로 끝납니다.
점과 직선을 바꿔 보세요
점 ↔ 직선을 바꿔도 같은 정리가 나옵니다.
그림으로 확인·사영
데자르그 정리는 두 삼각형이 한 점을 중심으로 원근 위치에 있을 때(점원근), 대응변의 교점 셋이 한 직선 위에 놓인다(선원근)는 정리이며, 그 역도 완벽히 성립합니다.
2차원 평면에서의 증명은 메넬라오스 정리를 세 번 적용하여 곱을 계산함으로써 대수적으로 증명할 수 있습니다. 3차원 공간에서는 두 평면의 교선이라는 자명한 사실이 2차원 평면으로 투영되면서 강력한 사영 정리가 됩니다.
평면에서는 증명이 안 됩니다
평면 기하에서는 공리로 넣어야 합니다 — 「비데자르그 평면」이 있습니다.
사영기하의 공리
데자르그 정리는 사영기하학(Projective Geometry)의 공리계에서 차원의 성질을 규정하는 핵심 잣대입니다. 힐베르트는 데자르그 정리가 성립하는 사영평면이 나눗셈환(Division Ring) 위의 좌표계 도입과 동치임을 규명했습니다.
현대 3D 컴퓨터 비전의 에피폴라 기하학(Epipolar Geometry), 다중 시점 카메라 캘리브레이션 및 르네상스 원근법 투영 렌더링 엔진의 핵심 기하 골격으로 작동합니다.
투시도의 바탕
르네상스 화가들이 수학보다 먼저 알아냈습니다.
풀어 보기
데자르그 정리와 사영기하. 두 삼각형 ABC와 A'B'C'에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 세 직선 AA', BB', CC'가 한 점 O에서 만날 때(점원근), 세 직선 AB와 A'B', BC와 B'C', CA와 C'A'의 세 교점이 갖는 기하학적 성질을 쓰시오.
(2) 데자르그 정리를 3차원 공간에서 증명할 때, 세 교점이 위치하게 되는 두 삼각형 평면 사이의 교차 도형의 형태를 쓰시오.
(3) 평면에서 데자르그 정리의 필요충분조건을 증명할 때 유용하게 쓰이는 삼각형의 선분 비에 관한 고전 기하학 정리의 이름을 쓰시오.
(1) 세 교점이 한 직선(축) 위에 놓입니다(공선점). (2) 두 평면이 만나는 교선(직선)입니다. (3) 메넬라오스 정리입니다.
답과 풀이 보기
(1) 세 교점이 한 직선 위에 놓입니다 (공선 · 데자르그 축).
곧 「한 점에서 만나는 것」이 「한 직선 위에 있는 것」으로 바뀝니다.
⭐ 게다가 역도 성립합니다 — 세 교점이 한 직선 위에 있으면 가 한 점에서 만납니다.
(2) 두 평면이 만나는 교선(직선)입니다.
두 삼각형이 서로 다른 평면에 있다고 하면 이야기가 갑자기 쉬워집니다.
· 는 첫째 평면 위에, 는 둘째 평면 위에 있습니다
· 그 둘이 만난다면 그 점은 두 평면에 모두 속합니다
· 두 평면이 공유하는 점은 교선 위뿐입니다
⇨ 세 교점이 모두 그 한 직선 위에 있습니다. 증명 끝입니다.
(3) 메넬라오스 정리입니다.
평면에서만 따지면 3 차원의 그 쉬운 길을 쓸 수 없어, 세 점이 한 직선 위에 있음을 재는 자가 필요합니다. 그것이 메넬라오스 정리입니다.
⭐ 3 차원이 2 차원보다 쉬웠습니다. 평면 안에 갇혀 있으면 어려운데 한 차원 들어 올리자 세 줄로 끝났습니다.
1640 년 데자르그가 이것을 담은 책을 냈는데 50 부만 찍고 잊혔습니다. 200 년 뒤 그 책의 손으로 베낀 사본 한 권이 발견되어 사영기하학이 되살아났습니다.
지금 컴퓨터 그래픽이 3 차원을 화면에 그리는 방법이 바로 이 기하학입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「무엇이 변하지 않는가」를 묻는 기하입니다.
- 사영기하 — 평행선도 「무한히 먼 점」에서 만난다고 봅니다
- 컴퓨터 비전 — 사진에서 3차원을 복원하는 데 이 기하를 씁니다
- 쌍대성 — 「점」과 「직선」을 맞바꿔도 정리가 그대로 성립합니다
이어지는 장
세 교점이 반듯한 한 직선 위에 서는 놀라운 현상은 평면을 3차원 입체 공간에서 내려다볼 때 더욱 선명해집니다 — 제140장 의 심슨 선처럼 점들이 한 줄로 늘어서는 기하학적 조화를 투영의 눈으로 다시 봅니다.
영감을 받은 곳
프랑스의 건축가이자 수학자 지라르 데자르그(Girard Desargues)가 1639년 파리에서 발표한 저술 『원뿔곡선의 원근 투영 시론』(Brouillon project)에서 처음 제시했습니다.