π 를 재는 여러 방법
동전 둘레를 실로 재어 보세요
풀통 뚜껑, 냄비, 동전의 둘레를 실로 한 바퀴 감아 길이를 재고 지름으로 나누어 보세요.
크기가 제각각인데 나눈 값은 언제나 3.14 근처에서 멈춥니다. 왜 크기와 상관없이 모든 원의 둘레와 지름의 비율은 똑같을까요?
이야기
둥근 것이면 무엇이든 둘레를 지름으로 나눠 보세요. 컵도, 접시도, 자전거 바퀴도 — 언제나 3.14… 가 나옵니다. 크기와 상관없이 같습니다. 이 수가 π 입니다.
사람들은 이 수를 더 정확히 알고 싶어 했습니다. 아르키메데스는 원 안팎에 정다각형을 그려 넣어 조여 갔습니다. 안쪽 다각형의 둘레보다는 크고, 바깥쪽보다는 작다 — 그렇게 96각형까지 가서 를 얻었습니다.
뜻밖의 방법도 있습니다. 바닥에 나란한 줄을 긋고 바늘을 마구 떨어뜨려 줄에 걸치는 횟수를 세면 π 가 나옵니다. 던지기만 했는데 원주율이 나옵니다.
π 는 끝나지도 않고 되풀이되지도 않습니다. 분수로 적을 수도 없습니다. 그리고 자와 컴퍼스만으로는 원과 같은 넓이의 정사각형을 그릴 수 없다는 것도 이 수의 성질 때문에 밝혀졌습니다.
3월 14일을 「파이 데이」로 만든 사람은 래리 쇼입니다. 1988년 샌프란시스코 과학관의 물리학자였던 그는 직원들과 함께 원형 복도를 세 바퀴 하고도 조금 더 돌고 나서 파이를 나눠 먹었습니다. 그는 그 뒤로 해마다 그 일을 했고, 2009년에는 미국 하원이 이 날을 공식으로 정했습니다.
π 는 원이 없는 곳에서도 계속 나옵니다. 진자의 주기, 전기 회로의 떨림, 정규분포의 식에 모두 π 가 들어 있습니다.
그리고 새 컴퓨터를 만들면 π 를 몇 자리까지 정확히 뽑는지로 성능과 정확성을 시험합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
둥근 물건의 둘레와 지름을 재 본다
집에 있는 온갖 둥근 물건을 모아 지름과 둘레를 자로 잽니다. 지름 10센티미터 접시의 둘레는 약 31.4센티미터입니다.
둘레를 지름으로 나누면 약 3.14배입니다. 원이 아무리 커지거나 작아져도 이 비율은 변하지 않으며, 이 신비로운 비율을 우리는 그리스 문자 (파이)라고 부릅니다.
π 를 여러 방법으로 재 보세요
닐라칸타는 같은 걸음에 훨씬 정확합니다.
다각형으로 조여 가기
아르키메데스는 원의 안쪽과 바깥쪽에 접하는 정96각형을 그려 의 값을 빈틈없이 조여 들어갔습니다.
안쪽 정96각형 둘레보다는 크고 바깥쪽 정96각형 둘레보다는 작으므로, (약 )임을 손수 계산으로 밝혀냈습니다.
얼마나 빨리 다가가나
소수 10 자리를 얻으려면 50 억 항이 필요합니다.
급수로 구하기
미적분학의 발전으로 기하학적 작도 대신 무한급수로 를 계산하게 되었습니다. 라이프니츠 급수 와 마친 공식(Machin's formula)이 대표적입니다.
1761년 람베르트는 가 무리수임을 증명하여 분수로 나타낼 수 없음을 보였고, 1882년 린데만은 초월수임을 증명했습니다.
현대의 방법
2024년까지 202 조 자리가 계산됐습니다.
π 의 초월성
가 초월수라는 사실은 고대 그리스 3대 작도 불능 문제 중 하나인 원적 문제(Squaring the circle)가 자와 컴퍼스만으로는 영원히 불가능함을 확정지었습니다.
현대에는 라마누잔 급수와 추드노프스키(Chudnovsky) 알고리즘을 고속 푸리에 변환(FFT)과 결합하여 수십조 자리 이상의 소수점 아래 숫자를 탐색합니다.
π 의 자릿수는 고른가
그런데 「정말 고른가(정규수인가)」는 증명되지 않았습니다.
풀어 보기
원둘레와 다각형의 둘레 비교. 반지름이 인 원의 안쪽에 접하는 정육각형과 바깥쪽에 접하는 정사각형을 생각하자.
(1) 내접하는 정육각형의 둘레 을 구하시오.
(2) 외접하는 정사각형의 둘레 를 구하시오.
(3) 원의 둘레 는 를 만족한다. 이를 통해 의 범위 를 구하시오.
(1) , (2) 이므로 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 반지름 1 인 원에 내접하는 정육각형은 한 변이 반지름과 같습니다. 중심과 이웃한 두 꼭짓점이 정삼각형을 이루기 때문입니다. 그래서
(2) 외접 정사각형의 한 변은 지름과 같으므로
(3) 원둘레는 그 둘 사이에 낍니다.
실제로 입니다. 다각형의 변을 늘릴수록 위아래가 좁혀지는데, 아르키메데스는 96각형까지 가서 을 얻었습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
π 는 원이 없는 곳에서도 튀어나옵니다.
- 파동과 소리 — 진동을 다루는 식마다 π 가 들어 있습니다
- 확률 — 정규분포(종 모양 곡선)의 식에도 π 가 있습니다
- 제곱의 역수 합 — 1 + 1/4 + 1/9 + … 을 다 더하면 입니다. 원이 어디에도 없는데 π 가 나옵니다
이어지는 장
다각형을 조여 가며 원주율의 한계를 좁혀 가던 고대의 방식은, 평면에 바늘을 아무렇게나 떨어뜨려 확률로 파이를 구하는 기발한 실험으로 이어집니다 — 제108장에서 원과 확률의 신비로운 만남을 경험해 보세요.
영감을 받은 곳
기원전 250년경 아르키메데스의 논문 『원의 측정』에 기록된 96각형 근사법과, 1988년 물리학자 래리 쇼가 샌프란시스코 탐구관에서 제정한 파이의 날 행사에서 영감을 받았습니다.