페르마 점

종이에 세 점 A, B, C를 찍고 그 안에 점 P를 잡습니다. 점 P에서 세 꼭짓점까지 실을 이어 길이를 잽니다.

P를 조금씩 움직여 보면 신기하게도 점 P에서 세 꼭짓점을 바라보는 세 각도가 정확히 120도씩 똑같이 벌어질 때 세 실의 길이의 합이 가장 짧아진다는 것을 발견하게 됩니다.

삼각형 를 점 A를 중심으로 바깥쪽으로 60도 회전시켜 을 만듭니다.

은 정삼각형이 되므로 입니다. 따라서 거리의 합 가 되어, 네 점 가 일직선이 될 때 최소가 됩니다. 이때 점 P 주변의 각도는 정확히 120도가 됩니다.

세 내각이 모두 미만인 삼각형에서 세 변 위에 바깥쪽으로 정삼각형을 그릴 때, 반대편 꼭짓점과 정삼각형의 꼭짓점을 이은 세 선분은 페르마 점(Fermat Point)에서 한 점으로 만나며 길이도 모두 같습니다.

만약 한 내각이 이상이면 최단 거리점은 내부가 아니라 그 둔각 꼭짓점 자체가 됩니다.

페르마 문제는 여러 단자를 최소 비용으로 연결하는 슈타이너 트리 문제(Steiner Tree Problem)의 모태입니다. 점이 4개 이상일 때 최적 연결망을 찾는 문제는 NP-하드(NP-hard)에 속합니다.

이는 반도체 VLSI 회로 배선 최적화, 통신 광케이블망 설계, 그리고 유한차원 바나흐 공간 상의 최소 거리 문제로 광범위하게 응용됩니다.