바닥을 채우는 모양
빈틈없이 바닥을 까는 다각형
욕실 바닥 타일을 보면 정삼각형, 정사각형, 정육각형 타일이 빈틈없이 깔려 있습니다.
정오각형 타일로 바닥을 채우려고 하면 어떻게 될까요? 아무리 돌려 맞춰도 틈이 벌어지는 까닭은 무엇일까요?
이야기
정다각형 한 가지로 바닥을 채우는 방법이 셋뿐인 까닭은 셈으로 훤합니다. 한 점에 모인 각을 다 더해 정확히 360도가 되어야 하기 때문입니다. 정삼각형은 60도씩 여섯, 정사각형은 90도씩 넷, 정육각형은 120도씩 셋. 정오각형은 108도라 셋이면 324도로 틈이 남고 넷이면 432도로 넘칩니다.
그런데 정다각형을 고집하지 않으면 이야기가 달라집니다. 어떤 삼각형이든, 어떤 사각형이든 바닥을 채울 수 있습니다. 오각형도 모양만 잘 고르면 됩니다. 그런 오각형이 몇 가지인지를 찾는 일이 백 년 가까이 이어졌습니다.
1918년 라인하르트가 다섯 가지를 찾았고, 1968년에 셋, 1975년에 하나가 더해져 아홉이 되었습니다.
그런데 그다음 넷을 찾은 사람은 수학자가 아니었습니다. 샌디에이고에 살던 주부 마조리 라이스였습니다. 그녀가 배운 수학은 고등학교 한 과목이 전부였습니다. 아들이 보던 잡지에서 이 문제를 읽고, 자기만의 기호를 만들어 부엌 식탁에서 1976년부터 두 해 동안 네 가지를 찾아냈습니다.
그 뒤 하나가 더 나와 열넷이 되었고, 2015년 컴퓨터가 열다섯째를 찾았습니다. 그리고 2017년, 「더 이상 없다」가 증명되었습니다. 정확히 열다섯 가지입니다. 그 가운데 넷이 그 부엌 식탁에서 나왔습니다.
화면을 픽셀로 나누는 방식, 지도를 격자로 나누는 방식이 이 문제입니다.
3D 게임과 영화에서 물체 표면을 삼각형으로 덮는 것도 같은 일이고, 그 삼각형의 수가 화면의 정교함을 정합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
여러 모양으로 바닥을 채워 본다
정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 종이 조각들을 모아 바닥에 맞춰 봅니다. 정삼각형, 정사각형, 정육각형은 딱 들어맞지만 정오각형은 틈이 생깁니다.
한 점에 모이는 모서리들의 각도를 살펴보세요. 남거나 겹치지 않고 한 바퀴 360°를 딱 채우는 모양만 바닥을 덮을 수 있습니다.
바닥을 채워 보세요
한 각이 360 을 정확히 나눠야 하기 때문입니다.
각의 합으로 따지기
정각형의 한 내각의 크기는 입니다. 바닥을 빈틈없이 채우려면 한 꼭짓점에 모인 내각의 합이 정확히 360°가 되어야 합니다.
정삼각형(60°×6=360°), 정사각형(90°×4=360°), 정육각형(120°×3=360°)의 세 가지만 360°의 약수가 됩니다. 정오각형은 한 각이 108°여서 360°를 만들 수 없습니다.
여러 종류를 섞으면
정팔각형과 정사각형을 섞으면 보도블록 무늬가 됩니다.
평면 채우기 분류
한 종류의 정다각형으로만 평면을 채우는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 3가지뿐입니다. 두 종류 이상의 정다각형을 섞어서 각 꼭짓점의 배열이 모두 같게 채우는 아르키메데스 테셀레이션은 정확히 8가지가 존재합니다.
볼록 오각형의 경우에는 정오각형이 아니더라도 합동인 변과 각의 조건을 조절하면 평면을 채울 수 있는 형태가 15가지 존재함이 2017년 컴퓨터 전수 조사로 최종 증명되었습니다.
오각형으로도 됩니다
마지막 15번째는 2015년에 찾았고, 2017년에 더는 없음이 증명됐습니다.
펜로즈 타일
테셀레이션은 결정학(Crystallography)의 2차원 벽지 군(Wallpaper Group, 17종) 이론과 직접 연결됩니다. 1974년 로저 펜로즈는 주기적으로 반복되지 않으면서 평면을 채우는 비주기적 타일링(펜로즈 타일)을 발견했습니다.
이 수학적 구조는 자연계에 존재하는 준결정(Quasicrystal) 물질의 구조로 실재함이 밝혀졌으며, 댄 셰흐트만은 준결정 발견으로 2011년 노벨 화학상을 수상했습니다.
17 가지 벽지 무늬
알람브라 궁전에 그 17 가지가 다 있습니다 — 800 년 전에요.
풀어 보기
정다각형과 테셀레이션. 정각형의 한 내각의 크기는 이다.
(1) 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형의 한 내각의 크기를 각각 구하시오.
(2) 한 꼭짓점에 정다각형 개가 모여 360°를 이룰 때, 정오각형으로는 평면을 채울 수 없는 까닭을 수식으로 보이시오.
(3) 한 꼭짓점에 정팔각형 2개와 정사각형 1개가 모여 평면을 채울 수 있음을 한 내각의 합을 계산하여 보이시오.
(3) 정팔각형의 한 내각은 135°이므로, 135° × 2 + 90° = 270° + 90° = 360° 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2) 한 꼭짓점에 개가 모여 가 되려면
정수가 아닙니다. 셋이면 로 틈이 남고, 넷이면 로 겹칩니다. 그래서 정오각형으로는 못 채웁니다.
(3) 정팔각형의 한 내각은 이므로
— 딱 맞습니다.
한 가지 모양만 쓰면 삼각형·사각형·육각형 셋뿐이지만, 여러 모양을 섞으면 이렇게 길이 열립니다. 욕실 바닥 타일에서 자주 보는 무늬입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
바닥 채우기는 예술과 산업 양쪽에 있습니다.
- 알람브라 궁전과 에스허르 — 무늬 예술의 바탕이 이 수학입니다
- 재단과 절단 — 천이나 철판을 버리는 부분 없이 자르는 문제입니다
- 펜로즈 타일 — 두 모양만으로 되풀이되지 않게 채우는 방법도 있습니다. 뒤에서 다룹니다
이어지는 장
정오각형으로는 한 꼭짓점에 모이는 내각의 합이 360도를 이루지 못해 평면을 채울 수 없지만, 두 가지 마름모 조각을 조합하면 영원히 반복되지 않으면서도 바닥을 빈틈없이 채우는 놀라운 무늬가 탄생합니다 — 제105장에서 펜로즈 타일링의 비주기적 신비를 감상해 보세요.
영감을 받은 곳
요하네스 케플러가 1619년 저술한 『우주의 조화』(Harmonices Mundi) 제2권에서 정다각형들의 평면 타일링 가능 조건을 수학적으로 규명한 연구에서 비롯되었습니다.