세제곱의 합
1부터 더해서 제곱하기
연습장에 을 계산해 보세요. 이 나옵니다. 그런데 36은 이고, 6은 입니다.
이번에는 네 개를 더해 보세요. 입니다. 세제곱들을 더한 값이 그냥 수들을 더해서 통째로 제곱한 것과 늘 똑같은 까닭은 무엇일까요?
이야기
서기 100년쯤, 오늘의 요르단 땅 게라사에 살던 니코마코스가 『산술 입문』이라는 책을 씁니다. 계산법이 아니라 수 자체의 성질을 다룬 책이었고, 이 성질이 거기 실려 있어 오늘도 그의 이름으로 불립니다.
그런데 그는 증명을 거의 하지 않았습니다. 몇 가지 예를 들어 보이고 「그러하다」로 넘어갑니다. 오늘의 눈으로 보면 수학책이라기보다 수의 신비를 말하는 책에 가깝습니다. 그런데도 이 책은 천 년 동안 유럽과 아라비아의 산술 교과서였습니다.
그가 남긴 그림은 그래도 아름답습니다. 홀수를 차례로 묶어 보십시오. 1은 1. 3+5는 8. 7+9+11은 27. 13+15+17+19는 64.
1, 8, 27, 64 — 세제곱수가 줄줄이 나옵니다. n번째 묶음에는 홀수가 n개 들어 있고, 그 합이 정확히 n의 세제곱입니다.
그러면 세제곱을 다 더한다는 것은 곧 홀수를 처음부터 차례로 다 더한다는 뜻이 됩니다. 묶음을 풀면 1, 3, 5, 7, 9, … 가 빠짐없이 이어지기 때문입니다.
그리고 홀수를 처음부터 k개 더하면 k의 제곱입니다. 여기서 k는 쓰인 홀수의 개수, 곧 1+2+⋯+n입니다. 그래서 세제곱의 합이 (1부터 더한 것)의 제곱이 되는 것입니다.
「세제곱의 합이 삼각수의 제곱」 — 그림 한 장으로 보이는 아름다운 사실입니다.
실용보다는 「식을 그림으로 보는 눈」을 길러 줍니다. 그 눈이 있어야 복잡한 식 앞에서 겁먹지 않습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
작은 수로 확인해 본다
작은 정사각형 타일로 커다란 정사각형을 만들어 보세요. 1짜리 블록 1개, 2짜리 블록 8개, 3짜리 블록 27개를 모읍니다.
이를 평면에 색깔별로 ㄱ자 모양(그노몬) 테두리로 둘러싸며 배치하면 한 변의 길이가 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 인 완벽한 정사각형이 됩니다. 눈으로 직접 확인해 보세요.
세제곱을 더해 보세요
세제곱의 합이 합의 제곱입니다 — 니코마코스의 정리.
공식 확인
1차 수열의 합 공식은 입니다.
세제곱의 합 공식은 이를 그대로 제곱한 이 됩니다. 두 공식 사이에 존재하는 기묘한 제곱 관계는 우연이 아니라 기하학적 도형의 분할과 완벽하게 일치합니다.
그림으로 보세요
그것을 큰 정사각형의 ㄱ자 테두리로 두르면 딱 맞습니다.
그림으로 증명·귀납법
이 정리는 수학적 귀납법(Mathematical induction)으로 엄밀하게 증명됩니다.
일 때 성립한다고 가정하고 양변에 을 더하면, 우변은 가 되어 일 때의 공식과 정확히 일치합니다.
네제곱은 어떨까요
그 계수가 베르누이 수 — 그러나 깔끔한 것은 p=3 뿐입니다.
거듭제곱 합
일반적인 거듭제곱의 합 은 파울하버 공식(Faulhaber's formula)과 베르누이 수(Bernoulli numbers)를 통해 계통적으로 정리됩니다.
특히 가 홀수일 때 거듭제곱의 합은 항상 의 다항식으로 표현되며, 일 때 이 되는 것은 이 깊은 대수적 구조의 가장 단순한 특수 경우입니다.
베르누이 수
이 수가 ζ(2)=π²/6, ζ(4)=π⁴/90 에도 그대로 나타납니다 — 모든 것이 이어져 있습니다.
풀어 보기
세제곱의 합 계산과 응용. 다음 물음에 답하시오.
(1) 의 값을 공식을 이용하여 구하시오.
(2) (짝수 10개의 세제곱 합)의 값을 구하시오.
(3) 연속한 홀수들의 합으로 세제곱수가 만들어지는 규칙()을 이용하여, 을 만들기 위해 더해야 하는 개 연속한 홀수들의 첫 번째 수를 에 관해 나타내시오.
(2) 는 각 항에서 을 공통인수로 묶어내 보세요.
답과 풀이 보기
(1) 225 입니다.
직접 더해도 — 맞습니다.
(2) 24,200 입니다.
각 항에서 을 통째로 묶어냅니다.
(3) 첫 번째 홀수는 입니다.
확인 : · — 맞습니다.
⭐ 까닭 — 부터 까지 쓴 홀수의 개수가 개이므로, 다음 홀수는 입니다.
홀수를 차례대로 갈라 담기만 하면 세제곱수가 저절로 나옵니다.
게다가 그 홀수를 처음부터 다 더하면 — (1) 의 그 공식이 다시 나옵니다. 두 이야기가 같은 것이었습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
깔끔한 식 뒤에는 대개 그림이 있습니다.
- 말 없는 증명 — 그림 한 장으로 보이는 증명들이 있습니다
- 수학적 귀납법 — 이 식을 엄밀히 증명하는 표준 방법입니다
- 직접 확인 — n=5까지 손으로 더해 보면 225 = 15²입니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
1세기 고대 그리스 수학자 니코마코스(Nicomachus of Gerasa)의 『산술 입문(Introduction to Arithmetic)』에 연속된 홀수의 묶음으로 세제곱수를 만드는 성질이 기록되어 있고, 아리아바타(Aryabhata)가 499년 『아리아바티야(Aryabhatiya)』에서 거듭제곱 합 공식을 정리했습니다.