파리를 보고 만든 좌표
천장의 파리가 숫자가 됩니다
방 천장에 붙어 있는 파리 한 마리를 바라보세요. 벽 모서리에서 가로로 몇 걸음, 세로로 몇 걸음 떨어져 있는지 두 숫자로 적어 보세요.
파리가 다른 곳으로 날아가 앉으면 숫자는 어떻게 바뀔까요? 눈에 보이는 모든 위치를 단 두 개의 숫자로 정확히 잡아낼 수 있을까요?
이야기
After Frans Hals
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천장에 파리 한 마리가 앉아 있습니다. 그 자리를 말로 어떻게 설명할까요? “저기쯤”이라고 하면 안 통합니다.
그런데 “왼쪽 벽에서 세 뼘, 앞쪽 벽에서 두 뼘”이라고 하면 딱 정해집니다. 숫자 두 개면 자리가 하나로 정해집니다.
병상에 누워 천장의 파리를 보다가 르네 데카르트가 좌표를 떠올렸다는 이야기가 전해집니다. 다만 이 일화가 사실인지는 확실하지 않습니다.
일화야 어떻든, 그가 한 일의 크기는 분명합니다. 좌표를 쓰면 도형을 식으로, 식을 도형으로 바꿀 수 있습니다. 원은 이 되고, 직선은 일차식이 됩니다.
그때까지 기하와 대수는 남남이었습니다. 좌표가 둘을 이었습니다. 그래서 이것을 해석기하라 부릅니다.
침대에 누운 데카르트가 천장의 파리를 보고 좌표를 떠올렸다는 이야기가 널리 전해집니다. 다만 그 이야기의 근거는 분명하지 않습니다. 확실한 것은 1637년 그가 『방법서설』의 부록으로 「기하학」을 실었다는 것입니다. 그 책이 대수와 기하를 하나로 묶었습니다.
화면 위의 모든 것이 좌표로 되어 있습니다. 지도의 위도·경도, 게임 속 인물의 자리, 사진의 픽셀 하나하나가 (x, y) 입니다.
「도형을 수로 바꾼다」는 이 생각이 없었다면 컴퓨터 그래픽도 GPS도 없습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
교실 자리를 (몇 줄, 몇 번째)로 적기
교실에서 내 짝꿍의 자리를 말할 때 「셋째 줄 다섯째 번」처럼 말하면 누구나 한 번에 찾아옵니다. 가로 줄과 세로 줄이 만나는 자리가 오직 하나뿐이기 때문입니다.
모눈종이에 가로선과 세로선을 긋고 점을 찍어 보세요. (2, 3)이나 (4, 1)처럼 숫자 두 개만으로 종이 위 어느 점이든 똑같이 가리킬 수 있습니다.
파리를 좌표로 적어 보세요
기하와 대수가 하나가 된 순간입니다.
좌표평면에 도형 그리기
데카르트는 가로축을 축, 세로축을 축이라 부르고 만나는 점을 원점 (0, 0)으로 정했습니다. 이것이 좌표평면입니다.
좌표가 생기자 점뿐 아니라 도형도 숫자로 다룰 수 있게 되었습니다. 예를 들어 원점에서 거리가 5인 점들을 모으면 라는 원의 식이 됩니다. 그림을 그리지 않고도 식으로 도형의 성질을 따질 수 있게 된 것입니다.
도형이 식이 됩니다
「원」이라는 그림이 x²+y²=r² 라는 글자가 되었습니다.
도형을 식으로 바꾸기
좌표의 도입은 기하학과 대수학을 하나로 묶었습니다. 두 점 과 사이의 거리는 피타고라스 정리로 이 됩니다.
직선의 방정식 과 원의 방정식 의 연립방정식을 풀면, 두 도형이 만나는 교점의 좌표를 순수한 계산으로 정확하게 구해낼 수 있습니다.
직선의 식
무한히 긴 선이 수 두 개로 요약됩니다.
해석기하
좌표를 이용해 기하학적 대상을 대수적으로 연구하는 학문을 해석기하학이라 부릅니다. 이 발상은 3차원 공간 을 넘어 차원 유클리드 공간 과 벡터 공간, 다양체 이론으로 뻗어 나갔습니다.
곡면 위의 미분과 적분을 가능하게 하여 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 탄생을 이끌었고, 오늘날 3D 컴퓨터 그래픽과 GPS 위치 측정 시스템의 절대적인 기반이 되었습니다.
차원을 늘려 보세요
좌표는 그릴 수 없는 것을 셈할 수 있게 합니다 — 이것이 데카르트의 선물입니다.
풀어 보기
좌표평면 위의 거리와 도형. 좌표평면 위의 세 점 가 있다.
(1) 두 점 사이의 거리와 두 점 사이의 거리를 각각 구하시오.
(2) 두 점 사이의 거리를 구하고, 삼각형 가 어떤 삼각형인지 말하시오.
(3) 점 를 지나고 선분 에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
(2) 피타고라스 정리를 적용해 세 변의 길이 관계를 확인하고, (3) 선분 BC의 기울기를 먼저 구합니다.
답과 풀이 보기
(1) 는 가 같으므로
는 가 같으므로
(2)
이므로 인 직각삼각형입니다. (세 변이 3, 4, 5)
(3) 의 기울기는 이므로 수직인 직선의 기울기는 입니다.
도형 문제가 셈 문제로 바뀌었습니다. 자와 컴퍼스 없이 수만으로 풀 수 있게 된 것 — 천장의 파리를 보다 떠올렸다는 그 생각이 이것입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
좌표 없이 돌아가는 것은 이제 거의 없습니다.
- 지도와 내비게이션 — 위도와 경도가 곧 좌표입니다
- 화면과 게임 — 픽셀 하나하나가 좌표를 갖습니다
- 그래프 — 시간과 값을 두 축에 놓는 순간 좌표를 쓰는 것입니다
이어지는 장
평면 위의 한 점을 두 개의 숫자 (x, y)로 나타내는 데카르트의 좌표계는, 차원을 하나 더 올려 3차원 입체를 넘어 4차원 초입방체를 수식으로 설계하는 문을 열어줍니다 — 제39장에서 좌표가 안내하는 고차원의 세계를 탐험해 보세요.
영감을 받은 곳
르네 데카르트가 1637년 출간한 철학 저서 『방법서설』(Discours de la méthode)의 부록 논문인 『기하학』(La Géométrie)에서 도형을 수와 식으로 다루는 좌표기하학을 처음 체계화했습니다.