톨레미 정리
원 안에 사각형을 그리고 대각선을 그어 보세요
컴퍼스로 원을 하나 그리고 원 둘레 위에 점 네 개를 찍어 사각형을 만듭니다. 두 대각선을 긋고 자로 네 변과 두 대각선의 길이를 잽니다.
마주 보는 두 변의 곱끼리 더한 값과 두 대각선의 곱을 비교하면 단 0.1밀리미터도 틀리지 않고 두 값이 정확히 똑같습니다. 원 안에 사각형을 그렸을 뿐인데 왜 이런 신비한 곱셈 등식이 성립할까요?
이야기
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서기 150년쯤 알렉산드리아. 클라우디오스 프톨레마이오스가 『알마게스트』를 씁니다. 별과 행성의 자리를 예측하는 책이었습니다.
그런데 그가 이 정리를 세운 까닭은 기하가 아니었습니다. 그에게 필요한 것은 표였습니다. 각도마다 현의 길이를 적어 놓은 표 — 오늘날의 삼각함수표에 해당하는 것입니다. 이미 아는 두 각의 값에서 합과 차의 값을 뽑아내는 도구가 필요했고, 이 정리가 바로 그 도구였습니다.
사인의 덧셈정리를 배운 사람이라면 낯익을 것입니다. sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB — 이 식이 원에 내접한 사각형으로 그려진 것이 톨레미 정리입니다. 두 대각선의 곱이 왼쪽, 마주 보는 변끼리의 곱의 합이 오른쪽입니다.
🚩 그가 세운 지구 중심 우주는 틀렸고 1400년 만에 무너졌습니다. 그러나 이 정리는 지금도 한 자도 틀리지 않습니다. 모형은 무너져도 계산은 남았기 때문입니다.
직사각형에서 재 보십시오. 가로 3 세로 4면 대각선은 5. 왼쪽은 25, 오른쪽은 9+16 = 25. 직사각형에서는 이 식이 곧 피타고라스 정리가 됩니다.
삼각함수 덧셈정리가 여기서 나왔습니다. 천 년 넘게 천문학자들이 이 표로 별의 자리를 셈했습니다.
지금은 그 덧셈정리가 신호를 실어 보내는 방식의 바탕입니다 — 라디오·와이파이·휴대전화가 모두 두 파동을 겹치고 나누는 셈을 합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
네 변과 두 대각선을 자로 잰다
동그라미를 하나 그리고 그 둘레 위에 점 네 개를 찍어 사각형을 만듭니다. 자로 네 변의 길이를 재어 적고, 두 대각선의 길이도 재어 적습니다.
이제 마주 보는 변끼리 곱해 두 값을 더해 보세요. 그다음 두 대각선을 곱해 보세요. 두 수가 같습니다.
점을 다른 자리로 옮겨 다시 그리고 또 재어 보세요. 사각형이 아무리 찌그러져도 언제나 같습니다. 자로 재는 것만으로 정리 하나를 만난 것입니다.
원 위 네 점을 이어 보세요
톨레미가 천문표를 만들며 쓴 관계입니다.
원에 사각형을 그려 재 본다
고대 천문학자 클라우디오스 프톨레마이오스가 천체 운행을 계산하기 위해 발견한 톨레미 정리(Ptolemy's Theorem)입니다.
대각선 위에 각도가 같아지도록 보조선 하나를 그어 삼각형의 닮음비 두 쌍을 만들어냅니다. 선분을 둘로 쪼개어 비례식을 더하면 가 군더더기 없이 유도됩니다. 사각형이 직사각형일 때는 피타고라스 정리 로 자연스럽게 변신합니다.
직사각형으로 확인해 보세요
피타고라스가 톨레미의 한 자리였습니다.
닮음으로 증명·삼각함수 덧셈정리
삼각함수의 덧셈정리 는 톨레미 정리의 완벽한 삼각비 표현입니다. 원의 지름을 1로 잡으면 현의 길이는 원주각의 사인값이 되기 때문입니다.
원에 내접하지 않는 일반 사각형에 대해서는 톨레미 부등식(Ptolemy's Inequality) 가 성립하며, 등호는 네 꼭짓점이 동일 원주상에 순서대로 놓일 때만 성립합니다.
정오각형의 대각선
황금비가 톨레미에서 튀어나옵니다.
거리 부등식으로 일반화
톨레미 정리는 복소평면의 뫼비우스 변환(Möbius transformation)과 원-직선 보존 사상에서 교차비(Cross-ratio)의 절대적 불변성을 나타냅니다.
반전 기하학(Inversive geometry)을 통해 3차원 및 고차원 쌍곡기하학(Hyperbolic Geometry)의 측지선 거리 부등식과 리만 구면 위의 등각사상 이론으로 깊게 일반화됩니다.
부등식으로 넓혀 보세요
등호는 원 위에 있을 때만 — 그래서 「원 위인지」를 재는 잣대가 됩니다.
풀어 보기
톨레미 정리와 대각선 곱. 원에 내접하는 사각형 의 네 변의 길이가 이다.
(1) 두 대각선의 길이의 곱 의 값을 구하시오.
(2) 원에 내접하는 사각형이 가로 , 세로 인 직사각형일 때 톨레미 정리를 적용하여 피타고라스 정리 을 유도하시오.
(3) 네 점 가 동일 원주상에 있지 않을 때 네 변과 대각선 사이에 성립하는 부등식을 쓰시오.
(1) , (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 23 입니다.
톨레미 정리는 대각선의 곱 = 마주 보는 두 변의 곱의 합입니다.
⭐ 대각선 하나하나의 길이는 몰라도 곱은 알 수 있습니다.
(2) 직사각형은 원에 내접합니다 (네 각이 모두 직각).
네 변은 이고 두 대각선은 길이가 같아 둘 다 입니다.
톨레미 정리를 그대로 쓰면
⭐ 피타고라스 정리가 톨레미 정리의 한 조각이었습니다.
(3) 입니다.
네 점이 한 원 위에 있을 때만 등호가 성립하고, 그렇지 않으면 언제나 작습니다 (톨레미 부등식).
⭐ 그래서 이 식은 「이 네 점이 한 원 위에 있는가」를 재는 자가 되기도 합니다.
2 세기 프톨레마이오스는 이 정리로 삼각함수 표를 만들었습니다. 삼각함수라는 말이 생기기 1,400 년 전입니다.
지금 우리가 쓰는 덧셈정리도 톨레미 정리를 원 위에서 읽은 것입니다. 별의 자리를 재려던 사람이 삼각함수를 만들었습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
원에 내접하는 사각형은 성질이 유난히 많습니다.
- 덧셈정리 — 톨레미 정리에서 곧바로 나옵니다
- 부등식 — 원 위가 아니면 가 됩니다
- 직접 재기 — 원을 그리고 점 넷을 찍어 자로 재어 보세요
이어지는 장
원에 직사각형을 그리면 대각선의 제곱이 가로와 세로의 제곱합이 됩니다 — 제17장 의 피타고라스 정리가 원 속 사각형의 한 모습으로 다시 태어납니다.
영감을 받은 곳
클라우디오스 프톨레마이오스가 2세기 고대 알렉산드리아에서 쓴 천문학 전서 『알마게스트』(Almagest, 제1권)에서 현의 길이 표를 만들기 위해 정리했습니다.