황금비는 정말 아름다운가
가장 아름다운 사각형
종이에 가로세로 비율이 서로 다른 직사각형 네 개를 그려 보세요. 길쭉한 것, 정사각형, 약간 넓적한 것을 나란히 놓습니다.
친구들에게 어떤 직사각형이 가장 편안하고 균형 잡혀 보이는지 물어보세요. 정말로 사람들은 약 1:1.618의 황금비율을 가진 직사각형을 가장 좋아할까요?
이야기
이 이야기가 퍼진 자리를 따라가 보면 두 사람이 나옵니다. 먼저 1509년 루카 파치올리가 『신성한 비례』라는 책에서 이 비를 「신이 정한 비례」라 불렀습니다. 그 책의 삽화를 그린 사람이 레오나르도 다빈치였습니다.
그다음 19세기 독일의 차이징이 이것을 「모든 아름다움의 법칙」이라 주장했고, 1876년 라이프치히의 구스타프 페히너가 사람들에게 여러 직사각형을 보여 주고 마음에 드는 것을 고르게 했습니다.
그런데 페히너의 결과는 생각보다 흐릿했고, 뒤에 같은 실험을 다시 해 보니 결과가 잘 나오지 않았습니다. 파르테논에서 황금비를 찾으려면 계단을 넣을지 뺄지, 지붕 끝을 어디로 볼지를 재는 사람이 골라야 합니다. 그러면 어떤 비든 찾아낼 수 있습니다.
다빈치가 그림에 이 비를 썼다는 기록도 없습니다. 삽화를 그린 것과 자기 그림에 쓴 것은 다른 이야기입니다.
🚩 그러니 조심할 것은 황금비가 아니라 「끼워 맞추기」입니다. 찾으려고 마음먹으면 어디서든 찾아집니다. 이 수가 진짜로 아름다운 것은 해바라기와 솔방울에서입니다. 거기서는 잴 자리를 사람이 고르지 않아도 됩니다.
이 이야기가 이토록 오래 살아남은 까닭은 사람이 무늬를 찾도록 만들어져 있기 때문입니다. 찾으려고 마음먹으면 어디서든 1.618에 가까운 값이 나옵니다. 재는 자리를 조금씩 옮기다 보면 반드시 걸립니다.
그래서 「어디에나 있다」는 말은 거기 있다는 증거가 아니라 우리가 찾고 있었다는 증거일 때가 많습니다.
널리 퍼진 이야기와 달리 파르테논·모나리자에 황금비가 쓰였다는 근거는 거의 없습니다.
그래도 이 장이 오늘 하는 일이 있습니다 — 「아름다운 이야기일수록 근거를 확인한다」는 태도를 가르칩니다. 그것이 광고와 유사과학을 걸러 내는 힘입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
여러 직사각형 중 마음에 드는 것 고르기
신용카드나 엽서, 책 표지의 가로와 세로 길이를 자로 직접 재어 보세요. 긴 변을 짧은 변으로 나누면 1.5에서 1.6 안팎의 값이 나옵니다.
정사각형에서 한 변의 절반을 기준으로 컴퍼스를 돌려 직사각형을 만드는 법을 손으로 따라 해 보면, 자연스럽게 눈에 익은 직사각형이 완성됩니다.
황금비를 재 보세요
「이 그림이 황금비다」라는 말은 대개 재어 보면 틀립니다.
비를 재어 견주기
짧은 변이 1이고 긴 변이 인 직사각형에서, 한쪽에 1×1 정사각형을 잘라내고 남은 작은 직사각형이 처음 직사각형과 닮음이 되도록 식을 세워 봅니다.
비례식 을 풀면 이차방정식 이 나오고, 양수 해인 황금비 이 유도됩니다.
정말 아름다울까요
그런데 다시 해 보면 결과가 잘 안 나옵니다.
주장의 근거 따지기
피보나치수열의 이웃한 두 항의 비 은 이 커질수록 황금비 에 수렴합니다.
황금비는 연분수 전개 로 나타나는데, 모든 분모가 1로만 이루어져 있어 유리수로 근사하기가 모든 무리수 중에서 가장 어려운 가장 무리수다운 무리수(the most irrational number)라는 깊은 대수적 성질을 지닙니다.
파르테논은 황금비인가
맞는 자리를 골라 재면 무엇이든 황금비로 만들 수 있습니다.
수학과 신화 가리기
식물의 잎차례(Phyllotaxis)나 해바라기 씨앗의 배열에서 황금각 이 나타나는 까닭은 공간을 가장 낭비 없이 촘촘하게 채우는 최적화 원리 때문입니다.
동역학계(Dynamical systems)에서 KAM 정리(Kolmogorov-Arnold-Moser)에 따르면 황금비에 해당하는 회전수를 가진 원환면 궤도가 섭동에 대해 가장 안정적으로 살아남습니다.
자연에는 정말 있습니다
φ 가 가장 「분수로 나타내기 어려운 수」 라서 그렇습니다 — 이것은 진짜입니다.
풀어 보기
황금비의 대수적 성질. 황금비 는 을 만족한다.
(1) 을 에 관한 일차식으로 나타내고 그 값을 소수로 어림하시오.
(2) 을 (단, 는 정수) 꼴로 나타내시오.
(3) 을 같은 방식으로 나타내고, 계수 가 어떤 수열을 이루는지 말하시오.
(2) 는 로 차수를 낮추어 보세요.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
의 양변을 로 나누면 이므로 .
⭐ 거꾸로 뒤집었더니 1 만 빠졌습니다. 의 역수가 — 소수점 아래가 글자 하나 안 틀리고 같습니다.
(2) 입니다.
확인 : · — 맞습니다.
(3) 이고, 계수는 피보나치 수열입니다.
차례로 늘어놓으면
계수가 — 피보나치입니다.
일반형은 .
거듭제곱은 커지기만 할 것 같은데, 는 아무리 곱해도 일차식으로 되돌아옵니다. 한 줄이 모든 거듭제곱을 납작하게 눌러 놓습니다.
그리고 그 안에서 토끼 이야기(피보나치)가 걸어 나옵니다. 전혀 다른 데서 시작한 두 이야기가 같은 수였습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「그럴듯한 이야기」를 가려내는 것도 공부입니다.
- 확증 편향 — 찾으려 들면 어디서나 1.618을 찾아냅니다
- 재현되는가 — 한 번의 실험보다 여러 번 되풀이된 결과가 중요합니다
- 진짜 황금비 — 해바라기 씨와 솔방울에서는 재 볼 수 있습니다
이어지는 장
자연 속 솔방울과 꽃잎에서 스스로 피어난 수열의 비가 인간의 예술에서도 절대적 규칙인지 다시 묻습니다 — 제2장 에서 보았던 경이로운 비를 비판적인 눈으로 다시 마주해 보세요.
영감을 받은 곳
구스타프 페히너(Gustav Fechner)가 1876년 『미학 입문(Vorschule der Aesthetik)』에서 사각형 선호도를 실험하며 황금비 설화를 검증한 연구와, 마리오 리비오(Mario Livio)의 저작 『황금비율의 진실(The Golden Ratio)』(2002)의 고증에서 왔습니다.