가장 빨리 내려오는 곡선
미끄럼틀의 최속 곡선
높이가 같고 모양이 다른 미끄럼틀 세 개를 준비합니다. 하나는 곧은 직선, 하나는 둥근 원호, 하나는 처음에 가파르게 떨어지다 완만해지는 사이클로이드 곡선입니다.
구슬 세 개를 동시에 굴려 보세요. 가장 거리가 짧은 직선 미끄럼틀보다 돌아 내려가는 곡선 미끄럼틀의 구슬이 왜 먼저 도착할까요?
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이야기
Johann Rudolf Huber
Public domain · 위키미디어 공용
높은 곳에서 낮은 곳으로 구슬을 굴립니다. 어떤 모양의 미끄럼틀이면 가장 빨리 내려올까요?
직선이라고 생각하기 쉽습니다. 두 점 사이 가장 짧은 길이니까요. 그런데 아닙니다.
정답은 처음에 가파르게 떨어졌다가 완만해지는 곡선입니다. 처음에 빨리 속도를 얻으면, 길이 조금 길어져도 전체 시간이 줄어듭니다.
그 곡선은 사이클로이드입니다. 굴러가는 바퀴 위의 한 점이 그리는 바로 그 길입니다.
1696년 요한 베르누이가 이 문제를 세상에 내걸었습니다. 뉴턴이 하루 만에 풀어 익명으로 보냈는데, 베르누이가 그것을 보고 “발톱 자국만 봐도 사자인 줄 알겠다”고 했다는 이야기가 전해집니다.
더 놀라운 것이 있습니다. 이 곡선 위에서는 어디서 놓아도 바닥에 닿는 시간이 같습니다. 높은 데서 놓든 낮은 데서 놓든 똑같습니다.
직선보다 빠른 까닭은 처음에 가파르게 떨어지기 때문입니다. 출발하자마자 속도를 벌어 두면 남은 길을 훨씬 빨리 지나갑니다. 가는 거리는 늘어나지만 빨라진 것이 그보다 더 크게 이득이 됩니다.
요한 베르누이는 이것을 빛으로 풀었습니다. 빛이 물에 들어갈 때 꺾이는 것은 가장 빨리 가는 길을 고르기 때문인데, 떨어지는 구슬을 「층마다 속도가 빨라지는 물속을 지나는 빛」으로 보면 답이 그대로 나옵니다.
가장 빠른 미끄럼틀 모양이 여기서 나옵니다. 직선보다 살짝 파인 곡선이 더 빠릅니다.
스케이트보드 파이프, 스키 점프대, 물이 흐르는 관의 모양을 정할 때 이 곡선을 참고합니다. 그리고 이 문제에서 변분법이 태어나 물리학 전체의 언어가 되었습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
경사면을 만들어 구슬을 굴려 본다
골판지로 직선 경사로와 가운데가 오목하게 파인 곡선 경사로를 만들어 구슬을 동시에 굴려 봅니다.
직선이 가장 짧은 길인데도, 푹 꺼진 곡선을 달리는 구슬이 훨씬 먼저 바닥에 닿습니다. 처음에 가파르게 떨어지며 속도를 순식간에 끌어올리기 때문입니다. 눈으로 직접 확인해 보세요.
어느 길이 가장 빠를까요
가장 빠른 길은 사이클로이드 — 「최단 시간 곡선」입니다.
직선·원호와 견주기
출발점에서 바닥까지 걸리는 시간은 「거리 ÷ 속도」입니다. 직선 경로는 거리는 가장 짧지만 초기 가속이 느려 평균 속도가 낮습니다.
반면에 처음에 급경사로 뚝 떨어지는 곡선은 위치에너지를 재빠르게 운동에너지로 바꾸어 초반부터 최고 속도를 확보합니다. 약간 긴 거리를 달리더라도 압도적인 속도로 질주하므로 전체 도달 시간이 가장 짧아집니다.
얼마나 빨라지나
가로 20 m·높이 10 m 면 절반 가까이 빨라집니다.
최속강하 문제
1696년 요한 베르누이는 가장 빨리 내려오는 곡선(최속강하곡선, Brachistochrone)이 바퀴가 굴러갈 때 한 점이 그리는 사이클로이드(Cycloid)임을 증명했습니다.
베르누이는 빛이 굴절률이 변하는 매질을 지날 때 시간이 최소가 되는 경로를 택한다는 페르마의 원리(스넬의 법칙 )를 낙하하는 물체의 속도 에 천재적으로 접목했습니다.
빛도 같은 길을 갑니다
빛은 가장 짧은 길이 아니라 가장 빠른 길로 갑니다 — 페르마의 원리.
변분법
최속강하선 문제는 함수들의 공간에서 적분 범함수(Functional)의 극값을 찾는 변분법(Calculus of Variations)과 오일러-라그랑주 방정식 의 탄생을 이끌었습니다.
이 수학은 고전역학의 최소 작용 원리(Principle of Least Action)와 해밀턴 역학, 나아가 양자역학의 파인만 경로적분(Path Integral)으로 이어지는 현대 이론물리학의 중추 기둥이 되었습니다.
변분법의 시작
베르누이의 이 문제가 변분법을 낳았습니다 — 물리학 전체의 언어가 됐습니다.
풀어 보기
최속강하곡선과 에너지 보존. 마찰이 없는 곡면을 따라 정지 상태에서 높이 만큼 낙하한 물체가 있다.
(1) 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 낙하한 높이 에서의 물체의 속력 를 중력가속도 와 로 나타내시오.
(2) 직선 경사로보다 초반에 급격히 떨어지는 곡선 경로가 총 낙하 시간을 단축시키는 까닭을 속력의 관점에서 설명하시오.
(3) 최속강하곡선인 사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식 에서 일 때 최저점의 좌표 를 구하시오.
(1) 1/2 m v² = m g y 에서 v = √(2gy) 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 위치에너지가 운동에너지로 바뀌므로
질량이 사라집니다 — 무거워도 가벼워도 같은 속력입니다.
(2) 속력은 내려온 높이만으로 정해집니다. 그러니 처음에 가파르게 떨어지면 빨리 속력을 얻고, 그 빠른 속력으로 나머지 거리를 달립니다.
직선은 거리는 가장 짧지만 느리게 시작합니다. 가장 짧은 길과 가장 빠른 길은 다릅니다.
(3) 이면 이므로
→
1696 년 요한 베르누이가 이 문제를 걸고 유럽의 수학자들에게 도전했습니다. 뉴턴은 저녁에 문제를 받아 하룻밤 만에 풀어 익명으로 보냈는데, 베르누이가 보고 「발톱만 봐도 사자인 줄 안다」고 했다고 전합니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「가장 좋은 모양 찾기」는 변분법이라는 분야가 되었습니다.
- 미끄럼틀과 스케이트 파크 — 실제 설계에 쓰입니다
- 빛의 길 — 빛도 가장 빨리 가는 길을 갑니다. 굴절이 그 결과입니다
- 진자 시계 — 사이클로이드의 등시성을 이용해 정확한 시계를 만들려 했습니다
이어지는 장
중력 아래에서 가장 빠르게 떨어지는 경로가 사이클로이드라는 발견은, 자전거 바퀴나 굴러가는 동전의 한 테두리 점이 허공에 그리는 궤적의 기하학적 성질과 정확히 한 몸을 이룹니다 — 제89장에서 굴림 운동이 빚어내는 아름다운 사이클로이드의 세계를 만나보세요.
영감을 받은 곳
요한 베르누이가 1696년 학술지 『학술기요』에 최단강하곡선 문제를 제안하고 뉴턴, 라이프니츠 등이 사이클로이드 곡선임을 증명하며 변분법을 탄생시킨 기록에서 유래했습니다.