골드바흐 추측
짝수를 소수 둘로 쪼개기
아무 짝수나 하나 마음속으로 떠올려 보세요. 10은 3+7, 16은 3+13 또는 5+11, 20은 3+17 또는 7+13 입니다.
100까지의 모든 짝수를 종이에 적고 소수 둘의 합으로 쪼개 보세요. 단 하나도 빠짐없이 전부 쪼개집니다. 그렇다면 4보다 큰 모든 짝수는 정말로 항상 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을까요?
이야기
Moscau, 1742. 6. 7.
Public domain · 위키미디어 공용
짝수 하나를 골라 소수 두 개의 합으로 써 보세요.
4 = 2+2. 6 = 3+3. 8 = 3+5. 10 = 3+7 또는 5+5. 12 = 5+7. 100 = 3+97 또는 11+89 또는 17+83…
계속 되는 것 같습니다. 4보다 큰 모든 짝수는 소수 둘의 합일까요?
1742년 크리스티안 골드바흐가 오일러에게 보낸 편지에서 이 물음을 냈습니다. 오일러는 “참이라고 확신하지만 증명할 수 없다”고 답했습니다.
그로부터 280년이 지났습니다. 컴퓨터로 까지 모두 확인했습니다. 하나도 어긋나지 않았습니다.
그런데 아직 증명되지 않았습니다. 아무리 많이 확인해도 「모든」을 보이지는 못합니다. 수는 무한하기 때문입니다.
이것이 수학이 다른 학문과 다른 점입니다. 백조를 아무리 많이 보아도 「모든 백조는 희다」가 증명되지 않습니다.
실용은 없습니다. 1742년에 제기되어 아직 미해결입니다.
다만 4×10의 18제곱까지 컴퓨터로 확인했고, 그 검증 과정에서 만들어진 대규모 소수 계산 기법이 암호 연구에 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
짝수를 소수 둘로 쪼개 본다
소수들을 적어 보세요. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 특별한 수입니다.
4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 12=5+7 처럼 짝수를 소수 두 개의 합으로 분해하는 퍼즐을 손으로 맞춰 보세요. 수가 커질수록 소수 둘로 쪼개는 방법이 오히려 더 많아집니다.
짝수를 소수 둘로 쪼개 보세요
1742년부터 아무도 증명하지 못했습니다.
큰 수까지 표로 확인
1742년 크리스티안 골드바흐가 오일러에게 보낸 편지에서 시작된 이 물음을 골드바흐 추측(Goldbach's conjecture)이라 부릅니다.
오늘날 컴퓨터로 이하의 모든 짝수에 대해 확인했지만 반례가 단 하나도 나오지 않았습니다. 초등학생도 문제를 이해할 수 있을 만큼 단순하지만, 인류 역사상 가장 뛰어난 수학자들도 아직 증명하지 못했습니다.
클수록 방법이 많아집니다
그런데 「같지 않다」와 「증명했다」는 다릅니다.
왜 어려운가
골드바흐 추측을 증명하기 위해 해석적 정수론의 원 분할법(Circle method)과 체 이론(Sieve theory)이 발전했습니다.
1937년 비노그라도프(Vinogradov)는 충분히 큰 모든 홀수가 세 소수의 합임을 증명했고(약한 골드바흐 추측, 2013년 헬프곳이 완전 증명), 1973년 천징룬(Chen Jingrun)은 충분히 큰 모든 짝수가 「소수 + (소수 또는 두 소수의 곱)」으로 표현됨을 증명했습니다.
약한 골드바흐
짝수 골드바흐(2 개)는 여전히 미해결입니다 — 하나 차이가 이렇게 큽니다.
해석적 정수론
골드바흐 추측은 소수의 분포가 마치 무작위 난수처럼 고르게 퍼져 있다는 하디-리틀우드 추측(Hardy-Littlewood conjectures)과 깊게 맞닿아 있습니다.
리만 가설(Riemann hypothesis)을 비롯한 L-함수의 영점 분포 이론과 밀접하게 연계되어 있으며, 덧셈적 정수론(Additive number theory)의 지형을 규정하는 중심 과제로 남아 있습니다.
어디까지 확인했나
그런데 수학에서 「확인」은 증명이 아닙니다 — 무한은 끝나지 않습니다.
풀어 보기
소수의 합 분해와 골드바흐 쌍. 다음 물음에 답하시오.
(1) 30 이하의 소수 목록을 모두 나열하시오.
(2) 짝수 28과 36을 두 소수의 합으로 나타내는 서로 다른 방법(순서 무시)을 모두 찾으시오.
(3) 어떤 짝수를 두 소수의 합으로 나타낼 때 2가 쓰일 수 있는 짝수는 오직 4뿐인 까닭을 설명하시오.
(3) 은 2를 제외한 모든 소수가 홀수라는 성질을 이용하세요.
답과 풀이 보기
(1) — 열 개입니다.
(2)
· — 두 가지
· — 네 가지
⭐ 수가 조금 커졌을 뿐인데 갈래가 두 배로 늘었습니다. 짝수가 커질수록 쓸 수 있는 짝이 점점 많아집니다.
(3) 2 를 뺀 모든 소수는 홀수입니다.
짝수를 두 소수의 합으로 쓸 때 하나가 2 라면 나머지는 이라 또 짝수입니다.
그런데 짝수인 소수는 2 하나뿐이므로 나머지도 2 여야 하고, 합은 밖에 될 수 없습니다.
그래서 4 를 넘는 짝수는 홀수 소수 둘로만 만들어집니다.
1742 년 골드바흐가 오일러에게 편지로 물었습니다. 지금까지 까지 하나도 빠짐없이 확인되었습니다.
그런데 모든 짝수가 그렇다는 증명은 아직 없습니다. 덧셈과 곱셈을 이어 주는 다리가 280 년째 놓이지 않고 있습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「확인」과 「증명」은 다릅니다.
- 약한 골드바흐 — 홀수는 소수 셋의 합이라는 것은 2013년에 증명되었습니다
- 반례 하나면 끝 — 아무리 오래된 추측도 반례 하나로 무너집니다
- 직접 확인 — 짝수 하나를 골라 소수 둘로 쪼개 보세요. 대개 여러 가지가 나옵니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)가 1742년 6월 7일 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에게 보낸 편지에서 4보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측을 제안했습니다.