별과 정리 · 제68장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

벤포드 법칙

Benford's Law

세상의 숫자는 1 로 시작하는 것이 유난히 많다

세상 모든 첫 숫자는 1을 편애합니다

오늘 신문의 경제면이나 주식 시세표, 혹은 집안의 영수증 수십 장을 모아 숫자의 맨 앞자리(첫째 자리 숫자)만 모조리 적어 보세요.

1부터 9까지 9개의 숫자가 골고루 11%씩 나올 것 같지만, 1로 시작하는 숫자가 전체의 30%를 넘고 9는 겨우 4%에 불과합니다. 세상의 모든 데이터에 깃든 이 기이한 불균형의 정체는 무엇일까요?

이야기

프랭크 벤퍼드 초상 — 프랭크 벤퍼드
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CC BY-SA 4.0 · 위키미디어 공용

1881년, 천문학자 사이먼 뉴컴이 도서관에서 로그표를 넘기다 이상한 것을 봅니다. 앞쪽 종이가 뒤쪽보다 훨씬 더러웠습니다. 1로 시작하는 수를 찾는 사람이 훨씬 많다는 뜻이었습니다. 그는 짧은 글로 이것을 적었고, 아무도 읽지 않았습니다.

오십칠 해 뒤인 1938년, 제너럴 일렉트릭의 물리학자 프랭크 벤포드가 같은 것을 다시 발견합니다. 그는 강의 길이, 야구 기록, 사망률, 분자량 등에서 2만 229개의 숫자를 모아 확인했습니다.

그런데 법칙의 이름은 먼저 본 뉴컴이 아니라 벤포드에게 붙었습니다. 과학사에는 이런 일이 하도 잦아서 「스티글러의 법칙」이라는 이름까지 붙어 있습니다. 그리고 정작 그 스티글러의 법칙도 스티글러가 처음 말한 것이 아닙니다.

왜 1이 많을까요. 단위를 바꿔도 분포가 같아야 하기 때문입니다. 킬로미터를 마일로 고쳐도 강은 그대로인데 첫 자리 분포가 달라진다면 이상합니다.

이 조건을 만족하는 분포는 단 하나뿐인데, 그것이 로그 눈금 위에서 고른 분포입니다. 로그 자에서 1부터 2까지의 칸은 전체의 30%를 차지하고 9부터 10까지는 4.6%밖에 안 됩니다. 그래서 1이 30%가 됩니다.

오늘 이것이 하는 일

회계·선거·과학 자료의 조작을 잡아냅니다. 자연스러운 자료는 첫 자리가 1인 것이 약 30%입니다.

세무 조사와 논문 검증에서 실제 도구로 쓰이며, 사람이 지어낸 숫자는 이 규칙을 잘 못 흉내 냅니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

신문·영수증에서 첫 자리를 세어 본다

신문 기사에 나오는 나라별 인구수, 강의 길이, 도시 면적의 첫 번째 숫자를 동그라미 쳐 가며 바를 정(正)자로 개수를 세어 봅니다.

1로 시작하는 숫자가 압도적으로 많고 숫자가 2, 3, 4로 커질수록 등장 횟수가 계단처럼 줄어드는 막대그래프 모양을 눈으로 직접 확인해 보세요.

첫 자리를 세어 보세요

숫자를 밀어 보세요.

나올 확률 % —고르게 나눈다면 % —몇 배 —

밑 —그 밑에서의 확률 % —

첫 자리 d — 1

밑 b — 10

1 이 30.1%, 9 는 4.6% — 고르지 않습니다.
「1/9 씩 고르게」가 아닙니다. 왜 그럴까요?
⭐ 2 진법에서는 첫 자리가 언제나 1 입니다 — 100% 입니다.

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

막대그래프로 견주기

숫자가 100에서 200으로 두 배가 되려면 100%나 성장해야 하므로 첫 자리가 1인 구간에 오래 머무릅니다. 반면 800에서 900이 되는 데는 12.5%만 늘어나면 되므로 금방 지나갑니다.

숫자가 몇 배씩 곱해지며 커지는 자연 현상이나 통계 데이터는 일정한 덧셈 눈금이 아니라 로그 눈금(지수적 증가)을 따르기 때문에 첫 자리가 1일 확률이 약 30.1%로 가장 높습니다.

배로 늘려 보세요

곱하는 수를 밀어 보세요.

1 로 머무는 몫 % —배율 —한 자리 오르는 걸음 —

몇 배씩 — 20

1 → 2 는 두 배가 걸리는데 9 → 10 은 1.11 배면 됩니다.
그래서 1 에서 오래 머뭅니다 — 로그 눈금에서 1 의 칸이 가장 넓습니다.

고1 · 고2 — 넓혀 본다

로그 눈금으로 까닭 보기

물리학자 프랭크 벤포드가 공식화한 벤포드 법칙(Benford's Law)에 따르면 첫째 자리 숫자가 ()일 확률은 입니다.

이 법칙의 핵심은 척도 불변성(Scale Invariance)입니다. 길이를 미터로 재든 인치로 재든, 화폐를 원화로 쓰든 달러로 환산하든 단위 변환에 무관하게 첫 자리 분포가 유지되려면 확률 밀도가 로그 균등 분포를 따라야만 합니다.

둘째 자리도 그렇습니다

자릿수를 밀어 보세요.

0 이 나올 % —고르게라면 % —자리 —

몇 번째 자리 — 1

둘째 자리는 11.97%~8.50% 로 거의 고릅니다.
자리가 깊어질수록 고르게 됩니다 — 넷째 자리부터는 거의 10% 씩입니다.

대학 — 어디까지 가나

척도불변성·회계 부정 적발

벤포드 법칙은 오늘날 회계 부정 및 금융 사기 적발(Forensic Accounting)의 가장 강력한 통계적 무기로 활약하고 있습니다.

사람이 장부를 조작하여 숫자를 꾸며내면 무의식중에 숫자를 균등하게 분포시키므로 벤포드 분포와 카이제곱 적합도 검정(-test)에서 즉시 발각됩니다. 국세청의 탈세 추적, 선거 개표 데이터 조작 검증, 학술 논문 데이터 위조 판별에 널리 쓰입니다.

왜 로그인가

눈금을 밀어 보세요.

로그 폭 —log(d+1) —log d —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

첫 자리 d — 1

견줄 자리 db — 7

벤포드 분포는 「눈금이 바뀌어도 안 바뀌는 유일한 분포」 입니다.
달러로 재든 원으로 재든 똑같은 비율이 나옵니다.

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

로그와 첫 자리 숫자. 벤포드 법칙에 따르면 자연계 데이터의 첫 자리 숫자가 일 확률은 이다. ()

(1) 첫 자리 숫자가 1일 확률 을 백분율(%)로 소수 첫째 자리까지 구하시오.
(2) 첫 자리 숫자가 2 또는 3일 확률 을 구하시오.
(3) 회계 장부 조작을 검사할 때 숫자를 무작위로 지어낸 데이터가 벤포드 법칙을 통과하기 어려운 까닭을 쓰시오.

(2) (30.1%)입니다.

답과 풀이 보기

(1) → 30.1% 입니다.
열 개 숫자 가운데 하나이니 10% 일 것 같은데 세 배입니다.

(2)
놀랍게도 다시 30.1% 입니다 — 과 똑같습니다.
1 하나가 2 와 3 을 합친 것과 맞먹습니다. 반대로 — 4.6% 뿐입니다.

(3) 사람은 숫자를 지어낼 때 1 부터 9 까지 고르게 씁니다. 1 만 30% 씩 쓰면 수상해 보인다고 여겨 오히려 피합니다.
그런데 진짜 자료는 곱셈으로 자라기 때문에 — 값이 100 에서 200 이 되는 데 걸리는 시간과 200 에서 400 이 되는 데 걸리는 시간이 같아서 — 1 로 시작하는 구간에 가장 오래 머뭅니다. 그래서 지어낸 장부는 첫 자리 분포에서 바로 들통납니다.

2001 년 엔론, 2011 년 그리스의 재정 통계가 이 검사에 걸렸습니다. 숫자를 아무리 그럴듯하게 꾸며도 첫 자리 하나가 다 말해 버립니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

중3-2 03 통계

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

여러가지그래프초6 지수와로그의성질고2

더 멀리

지어낸 숫자는 이 분포를 못 흉내 냅니다.

회계 감사 — 장부 조작을 찾는 데 실제로 쓰입니다
선거·과학 자료 검증 — 조작 의심 자료를 걸러냅니다
직접 확인 — 신문 한 부의 숫자를 다 세어 보면 정말 그렇습니다

이어지는 장

세상의 자연스러운 수치 데이터에서 첫 자리가 1일 확률이 약 30.1%에 달한다는 불균등한 로그 분포는, 사람이 지어낸 거짓 장부와 조작된 통계를 단숨에 짚어내는 제38장 의 날카로운 검증 도구로 곧바로 연결됩니다.

영감을 받은 곳

1881년 천문학자 사이먼 뉴컴(Simon Newcomb)이 로그표 책 앞쪽의 닳은 흔적을 보고 처음 발견하고, 1938년 물리학자 프랭크 벤포드(Frank Benford)가 2만 개가 넘는 방대한 실제 데이터를 분석하여 논문 「비정상적인 숫자의 법칙」(The Law of Anomalous Numbers)으로 정립했습니다.