1부터 100까지 — 소년 가우스
1부터 100까지 1초 만에 더해 보세요
1부터 100까지 차례대로 적고 종이에 더해 봅니다. 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10... 한참을 더해야 합니다.
열 살 소년 가우스는 선생님이 문제를 내자마자 슬레이트 석판에 5050을 적어 제출했습니다. 어떻게 백 개의 덧셈을 한 번의 곱셈으로 끝냈을까요?
이야기
Christian Albrecht Jensen
Public domain · 위키미디어 공용
이 이야기가 세상에 알려진 것은 가우스가 세상을 떠난 이듬해인 1856년입니다. 친구 발터스하우젠이 추모 글에 적었습니다. 그러니 우리가 아는 「백까지 더하라」는 말도, 석판을 탁 내려놓았다는 장면도 노년의 가우스가 들려준 기억을 옮긴 것입니다.
그런데 정작 문제는 그보다 어려웠던 것 같습니다. 전해지는 이야기에서는 단순히 1부터 100까지가 아니라, 큰 수부터 일정한 간격으로 줄지어 놓은 훨씬 고약한 덧셈이었다고 합니다. 세월이 지나며 「1부터 100까지」로 다듬어진 것입니다.
어느 쪽이든 방법은 같습니다. 줄의 앞과 뒤를 짝지으면 1과 100, 2와 99, 3과 98 — 짝마다 합이 똑같이 101입니다. 앞이 하나 커질 때 뒤가 하나 작아지기 때문에 합이 변할 수가 없습니다. 그런 짝이 쉰이니 101×50 = 5050입니다.
⭐ 이 짝짓기는 여기서 끝나지 않습니다. 1부터 어떤 수까지든 같은 방법이 통하고, 그것이 곧 삼각수의 공식이 됩니다.
프로그램을 빠르게 만드는 첫걸음입니다. 백만 번 더할 것을 한 번 곱하기로 바꾸면 시간이 백만 배 줄어듭니다.
「하나씩 세지 말고 식으로 한 번에」는 지금도 계산 속도를 다루는 사람들이 가장 먼저 배우는 태도입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
짝을 지어 더한다
1과 맨 끝의 100을 짝지어 더하면 101입니다. 2와 99를 더해도 101, 3과 98을 더해도 101입니다.
양 끝에서 안쪽으로 짝을 맞추면 합이 101인 짝이 정확히 50개 만들어집니다. 그러니 101에 50을 곱하면 이라는 답이 단 1초 만에 나옵니다.
양 끝을 짝지어 보세요
그런 짝이 50 쌍이니 101×50 = 5050. 더하지 않고 세었습니다.
등차수열의 합 공식
합을 이라 두고, 순서를 거꾸로 뒤집은 식 을 아래에 적어 위아래로 더합니다.
각 기둥마다 이 개 생기므로 이 됩니다. 따라서 이라는 등차수열의 합 공식이 유도됩니다.
홀수만 더하면 무엇이 될까요
정사각형에 ㄱ자로 한 겹씩 두르는 그림을 떠올려 보세요 — 그 겹이 홀수입니다.
수학적 귀납법·삼각수
기하학적으로 이 합은 바둑알을 삼각형 모양으로 쌓아 올린 삼각수(Triangular number) 에 해당하며, 두 삼각수를 합치면 직사각형이 됩니다.
수학적 귀납법을 통해 자연수 거듭제곱의 합 공식 등으로 체계적으로 확장됩니다.
제곱을 더하면
1³+2³+3³ = 36 = (1+2+3)². 우연이 아닙니다.
제타 함수로 가는 길목
자연수의 거듭제곱 합은 베르누이 수(Bernoulli numbers)와 오일러-맥로린 공식(Euler-Maclaurin formula)의 기초를 이룹니다.
나아가 디리클레 급수 인 리만 제타 함수로 확장되며, 해석적 연속을 통한 정규화 합 은 끈 이론과 양자장론의 카시미르 효과에서 실재하는 물리량으로 계산됩니다.
넓이로 다가가 보세요
이것이 ∫₀¹x²dx = 1/3 입니다 — 더하기가 넓이가 되는 자리입니다.
풀어 보기
등차수열의 합과 연속한 자연수. 1부터 시작하는 연속한 자연수의 합에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 1부터 50까지의 자연수의 합 을 구하시오.
(2) 51부터 100까지의 자연수의 합 을 구하시오.
(3) 1부터 까지의 합이 210 이 될 때, 자연수 의 값을 구하시오.
(1) , (2) , (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2)
(3)
이웃한 두 수의 곱이 420 인 것을 찾으면 이므로 입니다. 실제로 — 맞습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「거꾸로 하나 더 놓고 반으로 나누기」는 계속 쓰입니다.
- 등차수열의 합 — 중·고등학교에서 배우는 공식이 바로 이 그림입니다
- 극장 좌석·창고 쌓기 — 줄마다 하나씩 늘어나는 것을 셀 때 씁니다
- 악수·대진표 — n명이 서로 한 번씩 악수하면 번입니다. 같은 셈입니다
이어지는 장
1부터 n까지 차례로 더해 얻어지는 가우스의 합은 바둑돌을 삼각형 모양으로 쌓아 올린 삼각수와 정확히 일치하며, 두 삼각수를 합치면 온전한 사각형이 만들어집니다 — 제36장에서 수의 기하학적 형태를 눈으로 확인해 보세요.
영감을 받은 곳
발터스하우젠이 1856년에 출간한 전기 『가우스 기념록』에 전해지는 소년 가우스의 초등학교 교실 덧셈 일화에서 유래했습니다.