원을 잘라 직사각형으로
원을 잘게 썰면 반듯해집니다
종이에 원을 하나 그리고 피자 조각처럼 8조각, 16조각, 32조각으로 잘게 썰어 보세요. 조각들을 위아래로 엇갈리게 지그재그로 끼워 맞추어 봅니다.
조각을 더 잘게 나눌수록 울퉁불퉁했던 둥근 가장자리가 점점 반듯한 직선으로 펴지며 완벽한 직사각형으로 변합니다. 곡선으로 둘러싸인 넓이가 어떻게 이라는 깔끔한 직사각형 공식이 될까요?
이야기
기원전 3세기 시라쿠사의 아르키메데스가 『원의 측정』이라는 짧은 글에서 이것을 증명했습니다. 세 명제뿐인 작은 글인데, 첫 명제가 바로 「원의 넓이는 반지름과 원둘레를 두 변으로 하는 직각삼각형의 넓이와 같다」입니다.
그런데 그는 원주율을 「구하지」 않았습니다. 가둔 것입니다. 원 안팎에 96각형을 그려 넣고 그 둘레를 손으로 계산해, 원주율이 3+10/71보다 크고 3+1/7보다 작다고 못 박았습니다. 정확한 값을 말하지 않고 도망갈 자리를 없앤 것입니다.
부채꼴을 끼워 맞춘 직사각형이 왜 답을 주는지 보십시오. 가로는 원둘레의 절반입니다. 조각을 위아래로 반씩 나눠 썼기 때문입니다. 원둘레가 2πr이니 절반은 πr입니다.
세로는 반지름 r입니다. 부채꼴의 높이가 곧 반지름이기 때문입니다. 그래서 넓이는 πr × r, 곧 πr²이 됩니다.
「잘게 잘라 다시 붙인다」는 적분의 첫 그림입니다. 원을 부채꼴로 잘라 붙이면 직사각형이 됩니다.
이 방법으로 지금 곡면의 넓이, 유체가 흐르는 양, 전기장의 세기를 잽니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
원을 잘라 지그재그로 붙여 본다
동그란 색종이를 반으로 접고 또 접어 16조각 부채꼴로 오려 봅니다. 이 조각들을 톱니바퀴처럼 서로 엇갈리게 나란히 붙여 놓아 보세요.
조각의 개수가 많아질수록 윗면과 아랫면은 평평해지고 옆면은 수직으로 서서 가로세로가 반듯한 직사각형 모양에 가까워지는 것을 눈으로 직접 볼 수 있습니다.
피자 조각으로 직사각형을 만들어 보세요
가로는 둘레의 절반 πr, 세로는 r — 그래서 넓이가 πr² 입니다.
조각이 많을수록 직사각형에 가까워진다
엇갈려 붙인 직사각형의 세로 길이는 부채꼴의 반지름인 과 같습니다. 직사각형의 가로 길이는 원 둘레의 절반인 입니다.
직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로 이 됩니다. 굽은 원의 둘레를 잘게 쪼개어 직선으로 바꾸는 이 기발한 발상으로 복잡한 곡면의 넓이를 초등 직사각형 공식 하나로 깔끔하게 계산해 낼 수 있습니다.
둘레와 넓이는 형제입니다
넓이를 반지름으로 미분하면 둘레가 됩니다. 우연이 아닙니다.
극한으로 넓이 끌어내기
이것은 고대 아르키메데스의 실진법(Method of Exhaustion)이자 현대 정적분의 극한 개념입니다. 원을 개의 부채꼴로 나누어 합친 도형의 넓이 은 일 때 직사각형의 넓이로 수렴합니다.
동심원 모양의 얇은 띠(둘레 , 두께 )를 안쪽부터 바깥쪽까지 펼쳐 쌓으면 밑변이 이고 높이가 인 직각삼각형이 되며, 적분식 으로도 완벽히 증명됩니다.
양쪽에서 조여 보세요
그 사이에 π 를 가둔 것입니다 — 이것이 극한의 첫 모습입니다.
적분의 씨앗
원을 잘게 썰어 직사각형으로 환원하는 직관은 측도론(Measure Theory)과 리만 적분(Riemann Integration)의 씨앗입니다.
이 극한의 나눔은 3차원 구의 부피 와 겉넓이 의 미분 관계()로 자연스럽게 확장됩니다. 현대 컴퓨터 그래픽의 곡면 테셀레이션(Tessellation)과 수치 적분 시뮬레이션의 근본 철학이 바로 여기에 있습니다.
적분으로 다시 세어 보세요
∫₀ᴿ2πr dr = πR². 카발리에리가 손으로 하던 일을 적분이 대신합니다.
풀어 보기
원의 분할과 넓이. 반지름이 인 원을 중심각이 같은 개의 부채꼴로 잘라 지그재그로 이어 붙여 직사각형에 가까운 도형을 만든다.
(1) 이어 붙인 도형의 윗변과 아랫변의 길이의 합은 원래 원의 어떤 길이와 같은가?
(2) 이 한없이 커질 때 만들어지는 직사각형의 가로와 세로 길이를 과 로 나타내시오.
(3) 둘레의 길이가 인 원의 넓이를 구하시오.
(3) 둘레 에서 이므로 넓이는 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 원의 둘레 와 같습니다.
부채꼴의 호가 번갈아 위와 아래로 가므로, 위와 아래를 합치면 원래 둘레가 고스란히 남습니다.
(2) 가로 · 세로 입니다.
둘레의 절반이 윗변이 되고, 부채꼴의 반지름이 그대로 세로가 됩니다.
그래서 넓이는 — 우리가 외우는 그 공식이 여기서 나옵니다.
(3) 이므로
입니다.
부채꼴을 더 잘게 자를수록 삐뚤빼뚤한 윗변이 곧게 펴집니다. 무한히 자르면 진짜 직사각형이 됩니다. 1,700 년 전 중국의 유휘가 이미 이 그림을 그렸습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「잘게 잘라 다른 모양으로 바꾸기」가 곧 적분입니다.
- 구의 겉넓이와 부피 — 같은 생각으로 구할 수 있습니다
- 미적분의 뿌리 — 아르키메데스가 이미 이 방법을 썼습니다
- 직접 해 보기 — 종이 원을 12조각, 24조각으로 잘라 견줘 보세요
이어지는 장
원을 무수히 많은 부채꼴로 잘게 쪼개어 직사각형의 넓이 로 환원시키는 극한의 사고는, 얇은 단면을 쌓아 기울어진 탑의 부피를 계산했던 제23장 과 똑같은 적분의 씨앗입니다.
영감을 받은 곳
기원전 3세기 아르키메데스의 저서 『원의 측정』(Measurement of a Circle) 및 3세기 중국 삼국시대 위나라의 수학자 유휘(劉徽)가 『구장산술』 주석에서 전개한 할원술(割圓術)에서 왔습니다.