벌집은 왜 육각형인가
정다각형으로 바닥을 채워 보세요
정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 타일을 바닥에 빈틈없이 이어 붙여 봅니다.
정오각형은 틈이 벌어지고 오직 셋만 바닥을 메웁니다. 그런데 왜 꿀벌은 하필 그 셋 중 정육각형을 골라 집을 지었을까요?
이야기
벌집을 들여다보면 방이 모두 육각형입니다. 사각형도 삼각형도 아니고 육각형입니다. 왜 그럴까요?
먼저 바닥을 빈틈없이 채울 수 있는 정다각형은 셋뿐입니다 — 정삼각형, 정사각형, 정육각형. 정오각형으로는 아무리 해도 틈이 생깁니다. 각의 크기가 360도를 나누어떨어지게 하지 못하기 때문입니다.
그럼 셋 중에 왜 육각형일까요? 같은 넓이를 가장 적은 벽으로 나눌 수 있기 때문입니다. 벌에게 밀랍은 비싼 재료입니다. 벽을 아끼면 꿀을 더 담을 수 있습니다.
같은 넓이의 방을 만들 때 둘레를 재어 보면 정삼각형이 가장 길고, 정사각형이 그다음, 정육각형이 가장 짧습니다. 원이 가장 좋겠지만 원으로는 빈틈없이 채울 수 없습니다.
“육각형이 정말 가장 알뜰한가”라는 물음은 오랫동안 추측으로 남아 있다가 1999년에야 증명되었습니다. 벌은 이천만 년 전부터 알고 있었습니다.
🚩 그런데 「육각형이 가장 알뜰하다」는 것은 2400년 동안 짐작일 뿐이었습니다. 기원전 4세기 파포스가 그렇게 적은 뒤로 아무도 증명하지 못했습니다. 증명이 나온 것은 1999년, 토머스 헤일스에 의해서였습니다. 벌은 이천사백 년 동안 사람이 증명하지 못한 것을 그냥 짓고 있었습니다.
가장 적은 재료로 가장 넓게 나누는 모양이 육각형입니다. 벌이 밀랍을 아끼는 방법을 사람이 배웠습니다.
비행기 날개와 문짝 속의 허니콤 구조, 그래핀의 탄소 배열, 축구공 표면이 모두 이 모양입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
삼각·사각·육각으로 바닥을 채워 본다
빈틈없이 바닥을 채울 수 있는 정다각형은 꼭짓점 한 각이 360도를 딱 나누어 떨어뜨리는 정삼각형, 정사각형, 정육각형 셋뿐입니다.
같은 양의 꿀을 담을 수 있는 크기로 셋의 둘레 길이를 재어 보면 정육각형의 둘레가 가장 짧습니다. 벌들은 밀랍을 가장 적게 쓰면서 가장 튼튼하고 넓은 방을 얻은 것입니다.
같은 넓이에 담을 벽을 견줘 보세요
같은 크기 방을 만드는데 육각형으로 지으면 벽돌을 가장 적게 쓰고 지을 수 있다
둘레 길이를 견줘 보기
넓이가 1인 방을 만들 때 필요한 벽의 길이를 비교해 봅니다. 정삼각형은 약 4.56, 정사각형은 4.00, 정육각형은 약 3.72입니다.
방을 여러 개 맞붙이면 이웃한 방끼리 벽을 공유하므로 재료 절감 효과는 더욱 커집니다. 최소의 재료로 최대의 공간과 구조적 안정성을 얻는 가장 알뜰한 기하학적 설계입니다.
벽의 길이를 견줘 보세요
벌들은 바닥마저 평평하게 안 짓고 마름모 3개로 꺾어 지어 꿀 채울 공간을 더 넓힌다
평면 채우기와 최소 둘레
2천 년 동안 수학자들은 정다각형 외에 곡선이나 불규칙한 모양을 섞어 평면을 분할해도 육각형 격자보다 둘레를 더 줄일 수는 없을 것이라 믿었습니다.
이를 벌집 추측(Honeycomb Conjecture)이라 부르며, 1999년 미국의 수학자 토머스 헤일스(Thomas Hales)가 복잡한 기하학적 부등식을 완벽히 증명하여 정육각형 타일링의 최적성을 확정지었습니다.
한 칸의 넓이와 벽
평면에 틈 없이 깔 수 있는 모양은 3가지뿐인데 그중 육각형이 가장 둘레가 짧다
벌집 추측
3차원 공간에서 같은 부피의 공간을 최소 표면적으로 분할하는 문제는 켈빈 문제(Kelvin problem)로 알려져 있으며, 1993년 위어-펠런 구조(Weaire-Phelan structure)가 발견되었습니다.
육각형 벌집 구조는 탄소 동소체인 그래핀(Graphene)의 2차원 원자 격자망과 항공우주 경량 허니컴 복합소재의 핵심 역학 원리로 응용됩니다.
벌집 추측
100년 동안 최고인 줄 알았던 거품 구조를 더 아끼는 3차원 모양이 새로 발견되었다
풀어 보기
평면 채우기 정다각형의 둘레 비교. 넓이가 모두 인 정사각형과 정육각형이 있다.
(1) 넓이가 인 정사각형의 한 변의 길이 와 둘레 를 구하시오. ()
(2) 한 변의 길이가 인 정육각형의 넓이는 이다. 넓이가 일 때 한 변의 길이 과 둘레 을 구하시오.
(3) 와 의 크기를 비교하여 정육각형의 둘레가 더 짧음을 확인하시오.
(2) , (1) 로 육각형의 둘레가 더 짧습니다.
답과 풀이 보기
(1) 이므로 ,
(2)
(3) 이므로 정육각형의 둘레가 더 짧습니다.
같은 넓이를 더 적은 벽으로 두른다는 뜻입니다. 벌은 밀랍을 아껴야 하고, 평면을 빈틈없이 채우는 정다각형은 삼각형·사각형·육각형 셋뿐인데 그중 육각형이 가장 알뜰합니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
육각형은 알뜰함이 필요한 곳마다 나타납니다.
- 가벼우면서 튼튼한 재료 — 비행기와 위성에 쓰는 벌집 구조가 그것입니다
- 탄소 원자 — 흑연과 그래핀이 육각형 그물입니다
- 현무암 기둥 — 용암이 식으며 갈라질 때도 육각형이 나옵니다
이어지는 장
벌들이 가장 적은 밀랍으로 가장 넓은 방을 짓는 정육각형 타일링의 원리는, 정오각형으로는 왜 평면을 빈틈없이 채울 수 없는지 따져보는 타일링의 법칙으로 확장됩니다 — 제41장에서 평면 채우기의 규칙을 탐구해 보세요.
영감을 받은 곳
기원전 36년경 고대 로마의 바로가 『농경론』에 기록한 오랜 물음으로 전해지며, 1999년 토머스 헤일스가 수학적으로 엄밀하게 증명했습니다.