별과 정리 · 제20장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

소수 나선

The Ulam Spiral

수를 소용돌이로 적고 소수만 칠하면 줄이 나타난다

모눈에 숫자를 소용돌이로 적어 보세요

지루한 학회 자리에서 수학자 울람이 모눈종이 한가운데에 1을 적고, 소용돌이를 그리며 2, 3, 4… 를 채워 나갔습니다. 그리고 소수인 칸에만 까맣게 점을 찍었습니다.

소수는 어디에 나올지 알 수 없다고들 합니다. 그런데 점들이 비스듬한 줄을 이루며 늘어섰습니다. 아무렇게나 흩어져야 할 것이 왜 줄을 서는 걸까요?

이야기

스타니스와프 울람 (로스앨러모스 배지) — 스타니스와프 울람
로스앨러모스 신분증 사진
Public domain · 위키미디어 공용

지루한 학회 발표를 듣던 스타니스와프 울람이 종이에 낙서를 시작했습니다. 가운데에 1을 쓰고, 2, 3, 4… 를 소용돌이 꼴로 감아 나갔습니다.

그리고 심심풀이로 소수만 동그라미를 쳤습니다. 그런데 이상한 일이 일어났습니다. 동그라미들이 아무렇게나 흩어지지 않고 비스듬한 줄을 이루는 것처럼 보였습니다.

1963년의 일이라고 전해집니다. 나중에 컴퓨터로 크게 그려 보니 그 줄무늬는 정말로 있었습니다.

왜 그럴까요? 대각선을 따라가면 수들이 같은 이차식을 이룹니다. 어떤 이차식은 소수를 유난히 많이 내놓습니다. 그래서 그 줄이 진해 보입니다.

다만 왜 그런 이차식이 있는지는 아직 아무도 다 알지 못합니다. 소수는 여전히 우리에게 수수께끼입니다.

이 나선을 발견한 스타니스와프 울람은 1963년 어느 학회에서 지루한 발표를 듣고 있었습니다. 그는 공책에 수를 나선으로 적어 내려가며 낙서를 하다가 소수에 동그라미를 쳤고, 거기서 비스듬한 줄무늬를 보았습니다. 그는 그 길로 컴퓨터로 6만 5천까지 그려 보게 했습니다.

오늘 이것이 하는 일

소수가 어디에 있는지가 인터넷 암호의 바탕입니다. 큰 소수 둘을 곱하기는 쉬운데 되돌리기는 어렵다는 성질 위에 지금의 안전한 접속(주소창의 자물쇠)이 서 있습니다.

은행 앱과 메시지 앱이 매 순간 큰 소수를 쓰고 있습니다. 소수의 분포에 아직 밝혀지지 않은 규칙이 있다면, 그것이 암호의 안전에 그대로 닿습니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

모눈에 수를 소용돌이로 적고 칠한다

모눈종이 한가운데 1을 쓰고 둘레를 빙글빙글 돌며 2, 3, 4, 5... 숫자를 채웁니다. 소수에만 동그라미를 쳐 보세요.

아무렇게나 흩어져 있을 줄 알았던 소수들이 대각선 방향으로 긴 줄을 지어 나타납니다. 규칙 없이 나타난다는 소수 속에 알 수 없는 무늬가 숨어 있습니다.

나선으로 수를 적어 보세요

숫자 나선 크기를 10×10에서 100×100까지 확장하며 소수 자리에만 점 불빛을 켠다

소수 개수 —칸 수 —소수 비율 % —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

판 크기 n — 50

견줄 자리 nb — 161

제멋대로 흩어져 있어야 할 소수들인데, 그런데 슬라이더를 밀수록 대각선 한 줄로 선명하게 줄을 선다
밤하늘에 별을 무작위로 뿌렸는데 자를 댄 것처럼 대각선 별자리가 나타난다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

대각선에 몰리는 까닭 짐작

나선 모눈에서 대각선에 놓이는 숫자들은 꼴의 이차식(다항식) 규칙을 따릅니다.

오일러가 발견한 유명한 소수 생성 다항식 같은 식에 부터 39까지 넣으면 40개의 수가 연속으로 모두 소수가 됩니다. 이 수들이 울람의 나선에서 한 줄로 곧게 이어져 나타난 것입니다.

대각선의 정체

소수 나선 위에서 오일러 다항식 n²+n+41 궤적에 형광펜 길을 칠하고 n을 0부터 39까지 이동한다

소수 개수 —상수항 —시험한 개수 —

상수항 c — 41

n 의 범위 — 39

무작위로 흩어져야 할 소수들이 형광펜 대각선 길을 따라 단 1개의 예외도 없이 40개가 연속으로 정확히 꽂힌다
복잡한 미로 같은 숫자판에서 대각선 길 하나를 그었더니 40번 연속으로 보물 소수가 쏟아진다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

이차식이 소수를 많이 내는 것

울람 나선(Ulam Spiral)의 대각선 밀집 현상은 하디-리틀우드 추측 F(Hardy-Littlewood Conjecture F)와 깊이 연관되어 있습니다.

어떤 이차식이 소수를 얼마나 높은 빈도로 생성하는지는 다항식의 판별식(Discriminant)과 관련 소수 계체(Class number)의 대수적 성질에 의해 결정되며, 특정 이차 다항식의 궤도 상에 소수가 통계적으로 유의미하게 집중됩니다.

왜 41 일까요

다양한 이차식 an²+bn+c의 소수 밀도 곡선을 비교 슬라이더로 올린다

유수 —상수항 —−4c+1 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

상수항 c — 41

견줄 자리 cb — 36

일반 대각선의 소수 밀도는 거리가 멀어질수록 희미해지는데, 그런데 판별식 Δ=1-4c가 음수인 특정 오일러형 다항식 라인은 평균 소수 밀도보다 3배 이상 짙게 유지된다
다른 줄은 소수가 금방 끊기는데 이 대각선 줄만 유독 소수가 3배나 빽빽하게 박혀 있다

대학 — 어디까지 가나

소수 분포의 미해결

다항식이 소수를 무한히 많이 생성하는가의 문제는 정수론의 오랜 난제인 란다우의 4대 미해결 문제 중 하나인 소수 문제와 맞닿아 있습니다.

현대에는 원형 울람 나선(Sacks spiral) 및 복소 가우스 소수 평면에서의 2차원 공간 상관함수(Spatial Correlation Function)를 통해 소수와 양자 카오스(Quantum Chaos)의 에너지 준위 통계 사이의 깊은 연관성을 규명하고 있습니다.

아무렇게나 뿌려도 무늬가 보일까요

격자 나선을 아르키메데스 나선 극좌표 r = √n, θ = 2π√n 으로 변환하여 점들을 뿌린다

무늬가 보이나 —비율 —소수 비율 —

칠하는 비율 — 12%

정사각형 격자에서의 모서리 왜곡이 사라지며, 그런데 모든 다항식 소수 줄기들이 유려한 포물선 곡선 다발로 일목요연하게 재정렬된다
나선판을 동그랗게 감아 돌렸더니 숨어있던 은하수 곡선 무늬가 환하게 드러난다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

오일러의 소수 생성 다항식. 다항식 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 일 때 의 값을 각각 구하고, 모두 소수인지 확인하시오.
(2) 일 때 을 계산하고, 이 수가 의 배수임을 보여 합성수임을 확인하시오.
(3) 일 때 이 소수가 될 수 없는 까닭을 쓰시오.

(2) 로 41의 제곱수입니다.

답과 풀이 보기

(1) — 셋 다 소수입니다. 이 식은 부터 까지 마흔 번 내리 소수를 냅니다.

(2)
41 로 묶이므로 이고, 소수가 아닙니다.

(3)
식 전체가 41 로 묶이기 때문입니다. 이면 세 항이 모두 41 의 배수가 됩니다.

어떤 다항식도 모든 자연수에서 소수만 낼 수는 없습니다. 언젠가는 이렇게 묶입니다.

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

소인수분해중1

더 멀리

「그려 보니 보였다」는 수학에서 자주 일어납니다.

자료 시각화 — 표로는 안 보이던 규칙이 그림으로 바꾸면 드러납니다
소수 판정 — 큰 소수를 찾는 일은 오늘날 암호의 바탕입니다
모눈종이 한 장이면 누구나 직접 그려 볼 수 있습니다. 100까지만 해도 줄이 보이기 시작합니다

이어지는 장

규칙 없이 흩어져 있는 것처럼 보이던 소수가 나선형 격자 위에서 기묘한 대각선 줄무늬를 드러내는 수수께끼는, 소수가 품은 깊은 질서를 탐구하는 리만 가설의 거대한 바다로 우리를 안내합니다 — 제153장에서 수학 최고의 난제를 엿보세요.

영감을 받은 곳

수학자 스타니스와프 울람이 1963년 학술회의 메모지에 숫자를 나선형 격자로 적고 소수를 칠하다가 우연히 발견하여 1964년 학계에 발표했습니다.