피크의 정리

모눈종이에 가로 3, 세로 2인 직사각형을 그려 봅니다. 테두리 선 위에 걸친 점의 개수와 도형 안쪽에 쏙 들어간 점의 개수를 세어 보세요.

안쪽 점 개, 둘레 점 개입니다. 신기하게도 으로 직사각형 넓이 과 딱 맞습니다. 삐뚤어진 삼각형이나 계단 모양 다각형을 그려도 똑같이 맞는지 직접 손으로 확인해 보세요.

꼭짓점이 모두 격자점 위에 있는 단순 다각형의 넓이는 (는 내부 점, 는 둘레 점)입니다.

임의의 다각형을 내부 격자점이 없는 가장 작은 기본 삼각형들로 쪼개어 봅니다. 기본 삼각형은 내부 점 0개, 둘레 점 3개이므로 넓이가 정확히 입니다. 다각형을 삼각형으로 이어 붙일 때마다 변이 합쳐지며 둘레 점이 내부 점으로 바뀌어도 전체 공식의 값은 완벽하게 보존됩니다.

피크의 정리는 오일러 다면체 공식 (평면 그래프)과 수학적으로 동치입니다. 다각형 내부의 삼각분할에서 각 꼭짓점의 내각의 합을 추적하여 증명할 수 있습니다.

내부 점 주위의 각의 합은 이고, 둘레 점들의 내각의 합은 입니다. 전체 개의 기본 삼각형 내각의 총합 와 비교하면 가 되고, 각 기본 삼각형의 넓이가 이므로 넓이 이 유도됩니다.

피크의 정리는 2차원 격자 다각형에서 성립하는 보석 같은 정리이며, 3차원 이상에서는 에르하르트 다항식(Ehrhart polynomial)과 토릭 다양체(Toric variety) 이론으로 확장됩니다.

3차원에서는 내부 점과 표면 점만으로 부피가 결정되지 않는 리브 사면체(Reeve tetrahedron)가 존재하여 고차원 격자 점 이론의 새로운 지평을 열었습니다. 오늘날 컴퓨터 비전에서 디지털 영상의 면적 측정과 격자 기반 공간 분석의 기초 원리로 응용됩니다.