큰 수의 이름
우주의 모래알보다 큰 수
종이에 숫자 1을 쓰고 그 뒤에 0을 끝없이 붙여 보세요. 100개를 붙이면 구골(Googol)이라는 엄청난 수가 됩니다.
전체 우주에 존재하는 모든 원자의 개수는 대략 개에 불과합니다. 우주 전체를 모래알로 꽉 채워도 다 못 적는 수는 대체 어디에 쓰려고 만든 걸까요?
이야기
1920년 뉴욕, 수학자 에드워드 캐스너가 아홉 살짜리 조카 밀턴에게 물었습니다. 「1 뒤에 0이 백 개 붙은 수를 뭐라고 부를까?」 아이가 대답한 말이 「구골」이었습니다.
밀턴은 하나를 더 지었습니다. 구골플렉스 — 「지칠 때까지 0을 쓴 수」라고 했는데, 삼촌이 그것을 「1 뒤에 0이 구골 개 붙은 수」로 다듬었습니다.
그런데 구골플렉스는 적을 수가 없습니다. 0을 구골 개 써야 하는데, 우주에 있는 원자가 다 해야 10의 80제곱 개쯤입니다. 원자 하나에 0을 하나씩 적어도 자리가 모자랍니다. 이름은 있는데 종이에 옮길 수는 없는 수입니다.
🚩 검색 회사 구글의 이름은 이 「구골」의 철자를 잘못 쓴 데서 왔습니다.
동양에도 큰 수의 이름이 있습니다. 만·억·조·경·해·자·양·구·간·정·재·극 — 넷씩 자리가 올라갑니다. 그 위로는 불교 경전에서 온 항하사·아승기·나유타·불가사의·무량대수가 이어집니다.
이런 이름들이 필요한 까닭은 큰 수를 말로 다룰 수 있어야 하기 때문입니다. 「1 뒤에 0이 백 개」라고 매번 말하는 것보다 「구골」이라 부르는 편이 생각을 옮기기 쉽습니다.
그래서 이름 짓기는 장난이 아니라 도구 만들기입니다. 아홉 살 아이가 지은 말이 백 년 뒤 세계에서 가장 큰 회사의 이름이 된 것도 그 때문입니다.
큰 수를 다루는 감각이 중요한 판단을 좌우합니다. 1조와 1경의 차이를 몸으로 못 느끼면 예산과 위험을 잘못 읽습니다.
「백만 초는 12일, 십억 초는 32년」 — 이런 감각이 통계와 뉴스를 제대로 읽게 합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
0 을 세어 이름 붙이기
일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경, 해… 우리가 쓰는 큰 수의 이름은 0이 네 개씩 늘어날 때마다 새로운 이름이 붙습니다.
서양에서는 천(1000) 단위로 밀리언, 빌리언, 트릴리언으로 0이 세 개씩 늘어납니다. 자릿수가 너무 많아지면 0을 세기 힘드니, 1 뒤에 0이 몇 개 붙었는지 거듭제곱으로 적어 보세요.
0 을 붙여 보세요
영어는 thousand·million·billion — 세 자리마다입니다.
⭐ 2 를 10 번 곱하면 1024 — 10 을 3 번 곱한 것과 비슷합니다.
거듭제곱으로 적기
큰 수를 다룰 때는 0을 일일이 쓰는 대신 10의 거듭제곱 지수로 나타내면 계산이 훨씬 쉬워집니다.
(조)에 (억)을 곱하면 지수를 더해 (해)가 됩니다. 자릿수의 크기를 어림하고 비교하는 상용로그의 뼈대가 바로 이 지수 셈에서 시작됩니다.
얼마나 큰지 느껴 보세요
「억」과 「조」는 말은 비슷한데 천 배 차이입니다.
자릿수 어림·로그
거듭제곱을 거듭하는 지수탑을 쌓으면 상상을 초월하는 속도로 수가 커집니다.
인 구골플렉스(Googolplex)는 우주의 모든 소립자에 0을 하나씩 적어도 다 쓸 수 없습니다. 커너스 표기법(화살표 표기법)과 아커만 함수를 이용하면 지수탑을 아득히 뛰어넘는 초거대 수열의 계층을 엄밀하게 정의할 수 있습니다.
거듭제곱 탑을 쌓아 보세요
탑은 곱하기보다 훨씬 빨리 커집니다.
큰 수의 계층
수학적 증명 과정에서 필연적으로 등장한 가장 거대한 수 중 하나로 그레이엄 수(Graham's number)가 있습니다.
램지 이론의 조합론적 경계를 증명하기 위해 고안된 이 수는 통상적인 표기법으로는 표현조차 불가능하여 크누스 윗화살표를 64단계 중첩하여 정의합니다. 계산 가능 함수와 급성장 위계(Fast-growing hierarchy)의 연구 대상입니다.
그레이엄 수
우주를 다 써서 적어도 못 적습니다 — 그런데 마지막 자리가 7 인 것은 압니다.
풀어 보기
큰 수의 자릿수와 비교. 다음 물음에 답하시오.
(1) 임을 이용하여 이 대략 몇 자릿수인지 10의 거듭제곱으로 어림하시오.
(2) (구골), 일 때, 와 중 어느 쪽이 더 큰지 이 10 보다 작음을 이용하여 비교하시오.
(3) 의 일의 자리 숫자를 구하시오.
(3) 은 3의 거듭제곱의 일의 자리가 3, 9, 7, 1 로 반복되는 주기를 이용하세요.
답과 풀이 보기
(1) 약 — 10 자리입니다.
실제로 로 딱 10 자리입니다. 1024 를 1000 으로 어림해도 자릿수는 어긋나지 않습니다.
(2) 가 더 큽니다.
지수를 100 으로 맞추는 것이 열쇠입니다.
밑을 견주면 이므로 — 곧 입니다.
실제로 은 91 자리, 구골은 101 자리입니다.
(3) 1 입니다.
3 의 거듭제곱의 일의 자리는 이 네 개씩 되풀이됩니다.
의 나머지가 0 이므로 주기의 끝자리인 1 입니다.
확인 : .
큰 수는 직접 셈하는 것이 아니라 견주는 것입니다. 을 다 적으려면 91 자리를 써야 하지만, 지수를 100 으로 맞추는 순간 8 과 10 을 견주는 문제가 됩니다.
구골은 우주의 원자 수보다도 훨씬 큽니다 — 그 이름을 따서 만든 회사가 구글입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
큰 수를 다루려면 다른 방법이 필요합니다.
- 거듭제곱 표기 — 처럼 적으면 다룰 수 있습니다
- 로그 — 큰 수를 자릿수로 바꿔 셈합니다. 지진 규모와 소리 크기가 그렇습니다
- 암호 — 안전한 암호는 「우주가 끝날 때까지 못 푼다」는 크기 위에 섭니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
아르키메데스가 기원전 3세기경 우주를 채우는 모래알을 헤아리며 큰 수를 명명한 저서 『모래알 계산(The Sand Reckoner)』과, 에드워드 캐스너(Edward Kasner)가 1920년 조카 밀턴 시로타와 함께 지은 수의 이름 '구골(Googol, 10¹⁰⁰)'에서 왔습니다.