조각을 맞추는 문제
일곱 조각으로 큐브 만들기
작은 정육면체 3개나 4개를 이어 붙여 만든 7개의 입체 조각을 손에 쥐어 보세요. 이것이 유명한 소마 큐브(Soma cube)입니다.
이 7개 조각을 빈틈없이 꽉 채워 3×3×3 정육면체를 맞춰 보세요. 조각들의 방향을 돌려 맞추는 방법은 단 몇 가지일까요, 아니면 수백 가지나 될까요?
이야기
André Savik
CC BY 3.0 · 위키미디어 공용
1933년 코펜하겐. 피에트 하인이 하이젠베르크의 양자물리학 강의를 듣고 있었습니다. 공간이 조각으로 나뉜다는 이야기가 나오는 순간, 그는 강의를 듣다 말고 이 일곱 조각을 떠올렸다고 전해집니다. 그는 시인이기도 했고, 나치 점령기에는 저항운동에 몸담았습니다.
그런데 「240가지」라는 답은 오래 확인되지 않았습니다. 1961년 존 콘웨이와 마이크 가이가 손으로 하나하나 찾아 240가지를 다 세고서야 정해졌습니다. 컴퓨터가 아니라 사람이 한 것입니다.
왜 딱 맞을까요. 일곱 조각의 작은 정육면체를 다 세면 27개입니다. 그리고 3×3×3도 27입니다. 남지도 모자라지도 않기 때문에 빈틈이 있을 수 없습니다.
다만 수가 맞는다고 맞춰지는 것은 아닙니다. 27개짜리 조각 모음을 아무렇게나 만들면 대개 안 맞습니다. 조각의 생김새가 서로 맞물려야 하고, 하인의 일곱 조각은 그 조건까지 맞춘 것입니다.
물건을 상자에 빈틈없이 넣는 문제입니다.
컨테이너 적재, 창고 자동화 로봇의 배치, 3D 프린터가 한 판에 여러 물건을 앉히는 계획이 모두 같은 종류이고, 컴퓨터가 되짚어 가기로 풉니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
조각을 만들어 맞춰 본다
소마 큐브 조각은 3개짜리 조각 1개와 4개짜리 조각 6개로 이루어져 있습니다. 총 정육면체 블록 수는 개로 3×3×3 큐브의 부피와 딱 맞습니다.
조각들을 직접 손으로 요리조리 돌려가며 상자에 맞춰 보세요. 침대, 소파, 피라미드 등 다양한 모양을 만들며 공간 감각을 깨울 수 있습니다.
일곱 조각으로 정육면체를
덴마크의 피에트 하인이 양자역학 강의를 듣다가 떠올렸습니다.
경우를 세는 어려움
7개의 조각 중 평면적인 조각은 3개뿐이고 나머지 4개는 3차원 공간에서 꺾인 입체 조각입니다.
정육면체를 회전시켜서 겹치는 것을 같은 것으로 치더라도, 3×3×3 큐브를 완성하는 서로 다른 해법은 무려 240가지나 존재합니다. 경우의 수가 너무 많아 손으로 전부 세기는 불가능에 가깝습니다.
맞추는 방법이 몇 가지
1961년 컴퓨터로 처음 세었습니다.
대칭을 빼고 세기
조각의 대칭성과 코너 칸, 모서리 칸, 면 중심 칸, 정중앙 칸의 기하학적 배치를 분석하면 불가능한 배치를 빠르게 걸러낼 수 있습니다.
예를 들어 3×3×3 큐브의 꼭짓점(코너) 8개는 오직 특정 조각들만 채울 수 있습니다. 회전군 의 정육면체 대칭 조작 24가지를 동치 관계로 묶어 체계적으로 해를 분류합니다.
조각의 모양
그 일곱이 정확히 27 칸을 채웁니다 — 우연치고는 아름답습니다.
탐색과 대칭군
소마 큐브와 같은 공간 타일링 퍼즐의 해를 전수 탐색하는 대표적인 알고리즘으로 도널드 커누스(Knuth)의 춤추는 링크(Dancing Links, DLX) 알고리즘이 있습니다.
문제를 0과 1로 이루어진 희소 행렬의 완전 피복 문제(Exact cover problem)로 변환하여 극도로 빠른 백트래킹 탐색을 수행하는 전산 수학의 우아한 응용 분야입니다.
폴리큐브를 세어 보세요
차원이 늘면 모양이 훨씬 많아집니다.
풀어 보기
소마 큐브의 부피와 구조. 다음 물음에 답하시오.
(1) 소마 큐브를 이루는 7개 조각의 단위 정육면체 개수가 각각 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4 개일 때, 전체 부피가 3×3×3 정육면체의 부피와 일치함을 보이시오.
(2) 3×3×3 정육면체에서 꼭짓점(코너) 칸, 모서리(에지) 중심 칸, 면(페이스) 중심 칸, 정중앙 칸의 개수를 각각 구하시오.
(3) 회전하여 겹치는 해를 제외하는 정육면체의 회전 대칭 조작이 총 24가지인 까닭을 6개 면과 각 면의 4가지 방향 회전으로 설명하시오.
(2) 는 임을 확인하세요.
답과 풀이 보기
(1) 조각 일곱의 칸 수를 모두 더하면
이므로 정확히 들어맞습니다.
⭐ 부피가 맞는 것은 필요한 조건일 뿐입니다 — 맞아도 못 맞출 수 있습니다. 실제로 소마 큐브는 240 가지 방법으로 맞춰집니다.
(2) 꼭짓점 8 · 모서리 중심 12 · 면 중심 6 · 정중앙 1
확인 : — 빠짐도 겹침도 없습니다.
정육면체의 꼭짓점이 8 개, 모서리가 12 개, 면이 6 개인 것과 그대로 같습니다.
(3) 24 가지입니다.
· 바닥에 놓을 면을 여섯 가지 중에서 고릅니다
· 그 면을 정한 뒤에도 제자리에서 네 번 돌릴 수 있습니다
⛔ 거울에 비친 것(뒤집기)은 돌려서 만들 수 없으므로 여기 넣지 않습니다.
1936 년 피트 하인이 양자역학 강의를 듣다가 「네 칸 이하로 만든 모든 삐뚤어진 덩어리」를 떠올렸습니다. 그것이 딱 일곱 개였고, 합치면 27 칸이었습니다.
강의를 듣다 딴생각을 한 덕분에 장난감 하나가 태어났습니다.
더 멀리
조각 맞추기는 컴퓨터 탐색의 좋은 시험대입니다.
- 완전 덮개 알고리즘 — 스도쿠와 펜토미노를 푸는 방법으로 소마 큐브도 풉니다
- 공간 지각 — 머릿속에서 돌려 보는 힘을 기르는 데 좋습니다
- 직접 만들기 — 나무 조각이나 종이 상자로 만들 수 있습니다
이어지는 장
평면에서 정사각형 다섯 개로 모양을 맞추던 펜토미노 놀이가 입체 공간으로 뻗어 나가 정육면체를 채우는 240가지 길을 열어젖힙니다 — 제77장 과 짝을 이루는 3차원의 퍼즐 세계입니다.
영감을 받은 곳
덴마크의 시인이자 수학자 피트 하인(Piet Hein)이 1933년 베르너 하이젠베르크의 양자역학 강의를 듣던 중 고안하여 1936년 특허를 낸 3차원 입체 퍼즐 '소마 큐브(Soma cube)'에서 왔습니다.