0.999… 는 1 이다
0.999… 와 1 을 비교해 보세요
종이에 0.99999... 9가 끝없이 이어지는 무한소수를 적어 보세요. 그리고 1과 비교해 친구들에게 어느 쪽이 더 큰지 물어봅니다.
백 명 중 아흔아홉 명은 1이 아주 조금이라도 더 크다고 답하지만 수학적으로 둘은 0.000001의 오차도 없이 완벽히 똑같은 수입니다. 왜 끝없이 다가가는데 이미 도착해 있는 것일까요?
이야기
많은 사람이 0.999… 와 1이 같다는 말에 고개를 젓습니다. “아주 조금 작지 않나?”
먼저 이렇게 해 보세요. 입니다. 양변에 3을 곱하면 입니다.
다른 방법도 있습니다. 라 놓고 10을 곱하면 . 두 식을 빼면 , 곧 x=1.
그래도 찜찜하다면, 이렇게 물어보세요. “1과 0.999… 사이에 있는 수를 하나만 대 보세요.”
댈 수 없습니다. 다른 두 실수 사이에는 반드시 다른 수가 있습니다. 그런데 여기엔 없습니다. 그러니 같은 수입니다.
헷갈리는 까닭은 「0.999…」를 끝없이 다가가는 과정으로 여기기 때문입니다. 그러나 이것은 과정이 아니라 하나의 수입니다. 그 수가 1입니다.
컴퓨터가 소수를 다루는 방식과 닿아 있습니다. 0.1을 이진법으로 정확히 적을 수 없어 컴퓨터는 0.1+0.2 ≠ 0.3 이라 답합니다.
돈을 다루는 프로그램이 소수 대신 정수(원 단위)를 쓰는 까닭이 여기 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
1/3 을 소수로 적어 본다
분수 1/3을 계산기로 나누면 0.333333...이 끝없이 나옵니다. 양변에 3을 곱해 보세요.
왼쪽은 1/3에 3을 곱하니 정확히 1이 됩니다. 오른쪽은 0.333...에 3을 곱하니 0.999...가 됩니다. 같은 식의 양쪽에 똑같이 3을 곱했으니 0.999...는 의심할 여지 없이 1과 정확히 같습니다.
9 를 늘려 보세요
끝이 없다는 것은 그 어떤 차이보다도 작다는 뜻입니다.
10배 빼기로 보이기
라고 이름을 붙입니다. 양변에 10을 곱하면 소수점이 한 칸 밀려 가 됩니다.
아래 식에서 위 식을 통째로 뺍니다. . 소수점 아래 무한히 이어지던 9들이 남김없이 사라져 가 남습니다. 양변을 9로 나누면 이 단숨에 증명됩니다.
분수로 바꿔 보세요
둘 다 맞으니 같은 수입니다.
수렴의 뜻으로 증명
무한소수는 무한등비급수의 합입니다. 으로 첫째항이 이고 공비가 입니다.
공식 로 정확히 수렴합니다. 극한의 정의에서 '다가가는 상태'가 아니라 무한급수가 도달하는 극한값 자체를 그 무한소수의 정의로 삼기 때문입니다.
등비급수로 보세요
「무한히 더한다」는 극한을 뜻하고, 그 극한이 정확히 1 입니다.
실수의 완비성
실수의 10진 표기법에서 0이 아닌 유한소수는 끝자리를 1 줄이고 9를 무한히 덧붙인 표기와 유일하지 않은 이중 표현(Non-unique representation)을 가집니다.
실수 체계 은 데데킨트 절단이나 코시 수열의 동치류로 정의되며, 두 수 사이에 다른 실수가 존재하지 않으면 두 수는 동일합니다. 이 모든 양수 에 대해 성립하므로 둘은 같은 실수입니다.
다른 밑에서도 그렇습니다
소수 표기는 수 자체가 아니라 이름입니다. 한 수에 이름이 둘일 수 있습니다.
풀어 보기
무한소수 0.999… 와 1의 상등. 라 하자.
(1) 를 계산하여 임을 유도하시오.
(2) 첫째항이 , 공비가 인 무한등비급수 공식을 사용하여 임을 보이시오.
(3) 두 실수 가 서로 다르다면 둘 사이에 항상 다른 실수 가 존재해야 한다. 와 사이에 다른 실수가 존재할 수 있는지 여부를 쓰시오.
(3) 둘 사이에 어떤 수도 들어갈 수 없으므로 두 수는 완벽히 같은 실수입니다.
답과 풀이 보기
(1) 의 양변에 10 을 곱하면 입니다.
⭐ 소수점 아래가 똑같이 무한히 이어지므로 통째로 지워집니다. 9 만 남습니다.
(2) 은 첫째항 · 공비 인 무한등비급수입니다.
이므로 합은
(3) 존재할 수 없습니다.
서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 가 끼어 있어야 합니다.
그런데 와 1 사이에 넣을 수 있는 수를 아무도 적을 수 없습니다.
낄 자리가 없다는 것은 두 수가 다르지 않다는 뜻입니다. 곧 같은 수입니다.
많은 사람이 「1 보다 아주 조금 작은 것 아니냐」고 합니다. 그 '아주 조금'을 숫자로 적어 보라고 하면 아무도 못 적습니다.
⭐ 이것은 근사가 아닙니다. 와 1 은 같은 수를 적는 두 가지 방법일 뿐입니다 — 와 처럼요.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「한 수를 두 가지로 적을 수 있다」는 사실입니다.
- 수렴 — 무한소수는 극한으로 정의됩니다
- 다른 진법에서도 — 이진법에서 0.111…은 1입니다
- 실수의 완비성 — 사이에 빈틈이 없다는 것이 실수의 성질입니다
이어지는 장
아킬레우스가 거북을 따라잡기 위해 밟아야 했던 무한한 거리 조각들이 합쳐져 마침내 유한한 하나의 완결점에 도달하는 원리와 똑같습니다 — 제12장 에서 무한을 더해 유한을 만드는 고대의 역설을 다시 만나보세요.
영감을 받은 곳
오귀스탱 루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)의 1821년 저서 『해석 코스』(Cours d'Analyse)에서 정립된 무한급수의 수렴과 실수의 완비성 공리에서 왔습니다.