메넬라오스 정리
삼각형을 가로지르는 선의 비율
삼각형 ABC를 종이에 그리고, 세 변(또는 연장선)을 칼로 단칼에 뚫고 지나가는 직선 하나를 그으세요. 변들과 만나는 점을 D, E, F라 부릅시다.
꼭짓점과 교점 사이의 잘려진 선분 길이들을 순서대로 돌아가며 세 비를 곱해 보세요. 삼각형을 제멋대로 삐딱하게 관통했는데 왜 세 비율의 곱은 언제나 정확하게 1이 될까요?
이야기
삼각형 ABC 를 가로지르는 직선을 하나 긋습니다. 이 직선이 세 변(또는 그 연장선)과 만나는 점을 D, E, F 라 합시다.
그러면 여섯 조각의 비가 이렇게 맞물립니다.
앞에서 본 체바의 정리와 똑 닮았습니다. 거기서는 곱이 +1이었고 세 선이 한 점에서 만났습니다. 여기서는 곱이 −1이고 세 점이 한 직선 위에 있습니다.
부호가 하나 다를 뿐인데 결론이 「점」에서 「선」으로 바뀝니다.
이 정리는 알렉산드리아의 메넬라오스가 1세기에 냈습니다. 체바보다 천육백 년 앞섭니다. 그는 천문학자였고, 하늘의 구면 위에서 삼각형을 다루다 이것을 찾았습니다.
부호를 붙이는 까닭은 점이 변 바깥에 놓일 수 있기 때문입니다. 직선이 삼각형을 가로지르면 반드시 하나 또는 셋이 바깥에 놓입니다.
🚩 그런데 이 정리는 체바의 정리보다 1600년이나 먼저 나왔습니다. 그런데도 오늘 학교에서는 체바를 먼저 배우고 메넬라오스를 나중에 배웁니다.
게다가 메넬라오스가 원래 다룬 것은 평면 삼각형이 아니었습니다. 그는 서기 100년 무렵 구면 위의 삼각형을 다루고 있었습니다. 별의 자리를 계산해야 했기 때문입니다. 평면판은 그 김에 곁들여 적어 둔 것이었습니다.
메넬라오스는 천문학자였습니다. 하늘의 구면 위 삼각형을 다루다 이 정리를 찾았습니다.
그 구면삼각법이 지금도 항해와 항공에 쓰입니다 — 지구 위 두 지점의 최단 항로를 구하는 계산이 그것입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
자를 얹어 교점 셋을 재 본다
삼각형 위에 자를 아무렇게나 삐딱하게 얹어 직선을 긋습니다. 삼각형의 두 변과 바깥 연장선 위에 교점 세 개가 찍힙니다.
꼭짓점에서 교점까지, 교점에서 다음 꼭짓점까지 번갈아 길이를 재어 곱해 보면 딱 1로 맞아떨어집니다. 2천 년 전 고대 그리스 수학자가 발견한 신비한 비례 공식입니다.
한 직선이 세 변을 자릅니다
부호가 뒤집히면 뜻이 뒤집힙니다.
수선의 높이비로 증명한다
삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C에서 자른 직선을 향해 수선의 발을 똑바로 내려 봅니다. 그 수선의 길이를 각각 라 합시다.
직각삼각형들의 닮음비에 의해 각 변의 분할비는 수선의 높이비와 정확히 같아집니다: , , . 이 셋을 곱하면 분모와 분자가 완벽히 약분되어 1이 됩니다.
부호를 붙여 재 보세요
그래서 세 점 중 홀수 개가 선분 바깥에 있습니다.
체바와 짝지어 증명
메넬라오스 정리는 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB(또는 그 연장선) 위의 세 점 D, E, F가 한 직선 위에 놓일(공선점) 필요충분조건이 임을 밝힙니다.
방향을 고려한 유향선분(Directed Segments)으로 표기할 때는 세 점 중 하나 또는 셋 모두가 외분점이 되므로 곱이 이 됩니다. 한 점에서 만나는 체바의 정리와 쌍대(Dual)를 이루며 데자르그 정리 증명의 핵심 도구가 됩니다.
체바를 메넬라오스로
두 정리는 같은 이야기의 앞뒤입니다.
사영기하
메넬라오스 정리는 고대 알렉산드리아의 메넬라오스가 저서 『구면론』(Sphaerica)에서 구면삼각법의 핵심 정리로 처음 확립했습니다. 구면 위의 대원 호들에 대한 비율 공식은 천문학 항해술의 계산 기반이었습니다.
현대 사영기하학에서는 복비(Cross-Ratio)의 불변성과 공선점 판정의 대수적 기초를 제공하며, 측량학과 3차원 공간 복원 알고리즘에 널리 활용됩니다.
사영기하로 보면
이것이 사영기하의 쌍대 원리입니다.
풀어 보기
메넬라오스 정리와 선분의 비. 삼각형 ABC의 변 AB 위의 점 F, 변 AC 위의 점 E, 변 BC의 연장선 위의 점 D가 한 직선 위에 있다.
(1) 이고 일 때, 선분의 비 의 값을 구하시오.
(2) (1)의 결과로부터 점 C가 선분 BD를 몇 대 몇으로 나누는지 구하시오.
(3) 체바의 정리(공점선)와 메넬라오스 정리(공선점)의 기하학적 차이점을 한 문장으로 쓰시오.
(1) 이므로 입니다. (2) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
메넬라오스 정리 — 세 점이 한 직선 위에 있으면
(2) 입니다.
D 는 변 BC 의 연장선 위에 있으므로 B, C, D 가 이 차례로 늘어섭니다.
라 하면
그러므로 — 곧 C 는 B 쪽에 훨씬 가깝습니다.
(3) 체바는 세 직선이 한 점에서 만나는 조건이고, 메넬라오스는 세 점이 한 직선 위에 있는 조건입니다.
· 체바 (공점) — 곱이 · 점 D, E, F 가 모두 변 위에 있습니다
· 메넬라오스 (공선) — 부호를 붙여 재면 곱이 · 세 점 중 하나(또는 셋)는 연장선 위에 있습니다
⭐ 점과 직선의 자리를 서로 바꾼 짝입니다. 사영기하학에서 말하는 쌍대입니다.
메넬라오스는 기원후 100 년 무렵 사람이고 체바는 1678 년 사람입니다. 그런데 두 정리는 거울에 비친 것처럼 닮았습니다.
1,600 년을 사이에 두고 한 짝이 완성된 셈입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「점이냐 선이냐」가 부호 하나로 갈립니다.
- 체바 정리 — 곱이 +1 이면 한 점에서 만납니다
- 쌍대성 — 사영기하에서 두 정리는 서로의 그림자입니다
- 직접 그리기 — 자로 여섯 조각을 재어 곱해 보세요
이어지는 장
삼각형 세 변을 가로지르는 직선이 만든 비율의 곱은 꼭짓점을 잇던 선분들의 성질과 완벽한 짝을 이룹니다 — 제136장 의 체바 정리와 나란히 놓고 점과 선의 대칭적인 아름다움을 견주어 보세요.
영감을 받은 곳
고대 알렉산드리아의 천문학자 메넬라오스(Menelaus of Alexandria, 서기 100년경)가 저술한 구면기하학 책 『구면론』(Sphaerica, 제3권)에 수록되어 전해졌습니다.