오렌지 쌓기
상자에 오렌지를 쌓는 법
시장 과일 가게에서 상인들이 오렌지를 쌓아 놓은 모양을 관찰해 보세요. 1층의 오렌지들 사이에 오목하게 들어간 홈에 2층 오렌지를 얹습니다.
이 방법이 빈틈을 가장 줄이는 길일까요? 구슬을 어떻게 쌓아도 이보다 더 빽빽하게 채울 수는 없을까요?
이야기
August Köhler [1]
Public domain · 위키미디어 공용
1611년, 케플러가 이 물음을 던진 것은 후원자에게 줄 새해 선물을 궁리하다가였습니다. 돈이 없어 무엇을 줄까 고민하다 「눈송이는 왜 육각형인가」를 주제로 짧은 글을 써서 바쳤는데, 그 안에 오렌지 쌓기가 들어 있었습니다.
1998년 토머스 헤일스가 컴퓨터로 수많은 경우를 따져 증명을 내놓았습니다. 그런데 심사가 끝나지 않았습니다. 검토에 네 해가 걸린 뒤 심사위원들은 「99% 확신한다」고밖에 쓰지 못했습니다. 사람이 다 읽을 수 없는 증명이었기 때문입니다.
헤일스는 그 뒤 컴퓨터가 증명 전체를 검사하게 하는 일을 새로 시작했고, 그것이 끝난 것은 2014년입니다. 케플러의 물음에서 403년 만이었습니다.
가장 빽빽하게 쌓으면 공간의 약 74%가 채워집니다. 나머지 26%는 어떻게 해도 빈틈으로 남습니다. 둥근 것은 서로 딱 붙을 수 없기 때문입니다.
재미있는 것은 가장 빽빽한 쌓기가 하나가 아니라는 점입니다. 2층을 얹는 자리를 다르게 골라도 채워지는 비율은 똑같이 74%입니다.
화물을 어떻게 실을 것인가가 이 문제입니다. 컨테이너와 창고에 물건을 빽빽하게 넣는 일에 그대로 닿습니다.
더 중요한 곳은 통신입니다. 신호를 여러 차원의 공간에 「공 쌓기」로 배치하는 것이 오류에 강한 부호를 만드는 방법이고, 그것이 휴대전화와 위성 통신에 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
공을 쌓아 견줘 본다
구슬 여러 개를 모아 바닥에 깔아 봅니다. 바둑판처럼 나란히 놓을 때보다, 육각형 모양으로 엇갈리게 모을 때 구슬 사이의 빈틈이 훨씬 좁아집니다.
그 위에 2층 구슬을 얹을 때도 아래층 구슬 세 개가 만든 오목한 골짜기에 얹습니다. 손으로 직접 쌓아 보며 빈틈이 얼마나 줄어드는지 눈으로 느껴 보세요.
오렌지를 쌓아 보세요
과일가게가 늘 하던 그 방식이 정답이었습니다.
빈틈의 비율 재기
오렌지를 반듯하게 바둑판처럼 쌓으면 위아래, 좌우가 모두 일렬로 서서 빈 공간이 크게 남습니다. 이때 구가 차지하는 부피의 비율은 약 52.4%에 불과합니다.
반면에 골짜기마다 엇갈려 쌓는 면심 입방 쌓기를 하면 공간 채움 비율이 약 74.05%로 껑충 뜁니다. 일상에서 상인들이 자연스럽게 터득한 지혜가 바로 이 최선의 방법입니다.
정확한 값
차원이 오를수록 빈 곳이 늘어납니다.
밀도 셈
1611년 요하네스 케플러는 3차원 공간에서 동일한 구를 가장 빽빽하게 채우는 밀도가 이며, 이보다 높은 밀도는 불가능하다고 추측했습니다.
이것이 케플러 추측입니다. 정규 격자 쌓기뿐 아니라 아무렇게나 마구잡이로 구겨 넣는 모든 비정규 배치에 대해서도 이 밀도를 넘을 수 없음을 보이는 것은 엄청나게 어려운 문제였습니다.
증명이 어려웠습니다
심사위원이 「99% 확신한다」고밖에 못 해 2014년에 기계 증명으로 마무리됐습니다.
케플러 추측의 증명
1998년 토머스 헤일스는 5,000개 이상의 비선형 최적화 문제를 컴퓨터 계산으로 전수 조사하여 케플러 추측을 증명했습니다.
수학 저널 심사위원단이 컴퓨터 코드의 완벽성을 99% 확신하지만 100% 확증할 수 없다고 밝히자, 헤일스는 2014년 정형화 증명 도구(Isabelle/HOL)를 이용해 기계가 완벽히 검증한 증명(Flyspeck 프로젝트)을 최종 완성했습니다.
높은 차원에서는
높은 차원에서는 부피가 거의 다 껍질에 있습니다.
풀어 보기
구의 부피와 정육면체 채우기. 반지름이 인 구가 한 변의 길이가 인 정육면체 상자에 꼭 맞게 들어있다.
(1) 정육면체의 부피와 구의 부피를 각각 에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 정육면체 안에서 구가 차지하는 부피의 비율(공간 점유율)을 를 사용하여 구하시오.
(3) 케플러 추측의 최밀 채우기 밀도 에 를 대입하여 백분율(소수 둘째 자리까지)로 구하시오.
(2) (4/3 π r³) ÷ (8r³) = π/6 ≈ 52.36% 가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 정육면체 , 구
(2)
상자 하나에 공 하나를 넣으면 절반 남짓밖에 못 채웁니다.
(3)
공을 층층이 어긋나게 쌓으면 74% 까지 올라갑니다 — 과일 가게에서 오렌지를 쌓는 그 모양입니다. 케플러가 1611 년에 「이보다 빽빽할 수 없다」고 했는데, 증명된 것은 1998 년이고 컴퓨터의 도움을 받아서였습니다. 쌓는 방법이 무한히 많아 손으로는 하나하나 따질 수 없었기 때문입니다.
더 멀리
빽빽하게 쌓는 문제는 값과 직결됩니다.
- 물류와 포장 — 빈틈을 줄이면 운송비가 줄어듭니다
- 금속 결정 — 많은 금속의 원자가 이 배열로 쌓여 있습니다
- 오류 정정 부호 — 신호를 「공」으로 보고 빽빽하게 배치하는 문제와 같습니다
이어지는 장
3차원 공간에서 구를 가장 빽빽하게 쌓으려는 오랜 탐구는, 평면 위에서 같은 크기의 동전 여섯 개가 중심 동전을 빈틈없이 에워싸는 2차원 접촉 문제에서 출발합니다 — 제33장에서 차원을 낮추어 가장 완벽한 배치를 먼저 확인해 보세요.
영감을 받은 곳
요하네스 케플러가 1611년 출간한 소책자 『육각 눈송이에 관하여』(Strena Seu de Nive Sexangula)에서 공을 가장 조밀하게 쌓는 방법(케플러 추측)을 제시했으며, 1998년 토머스 헤일스가 컴퓨터 지원 증명을 완성했습니다.