원을 정사각형으로
원과 똑같은 넓이의 네모를 그려 보세요
둥근 동전을 대고 원을 그린 다음, 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써서 이 원과 넓이가 1제곱밀리미터도 틀리지 않고 똑같은 정사각형을 그려 보세요.
아무리 정밀하게 계산해 선을 그어도 완벽하게 똑같은 넓이의 정사각형을 자와 컴퍼스로는 영원히 그릴 수 없습니다. 왜 원을 사각형으로 바꾸는 것은 금지되어 있을까요?
이야기
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원이 하나 있습니다. 자와 컴퍼스만으로, 그 원과 넓이가 같은 정사각형을 그릴 수 있을까요?
고대 그리스에서부터 사람들이 매달렸습니다. 이천 년이 넘게 아무도 못 했습니다. 「원을 정사각형으로 만들기」는 불가능한 일을 뜻하는 관용구가 될 정도였습니다.
반지름이 1이면 원의 넓이는 π 입니다. 그러니 정사각형의 한 변은 여야 합니다. 그 길이를 자와 컴퍼스로 만들 수 있느냐가 문제입니다.
1882년 페르디난트 폰 린데만이 답을 냈습니다. π 는 초월수입니다. 어떤 정수 계수 방정식의 해도 될 수 없다는 뜻입니다.
자와 컴퍼스로 만들 수 있는 길이는 사칙연산과 제곱근으로 표현되는 것뿐입니다. 그것들은 모두 방정식의 해가 됩니다. 그런데 π 는 아닙니다. 그래서 불가능합니다.
이천 년의 물음이 π 의 성질 하나로 끝났습니다.
「어떤 수인가」가 「무엇을 할 수 있는가」를 정합니다. π 가 초월수라서 원적문제가 불가능합니다.
지금도 「원적문제를 풀었다」는 주장이 나옵니다. 근사값과 정확한 작도를 구별하는 눈 — 그것이 유사과학을 걸러 내는 힘입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
원과 같은 넓이의 사각형을 그려 본다
반지름 1인 원의 넓이는 약 3.14입니다. 이 원과 넓이가 똑같은 정사각형을 만들려면 한 변의 길이가 약 1.772...가 되어야 합니다.
모눈종이에 원을 오려 조각내어 사각형 모양으로 맞추어 볼 수는 있지만, 자루 없는 컴퍼스와 직선 자만 가지고 그 정확한 한 변 길이를 찍어내는 것은 결코 되지 않습니다.
원과 같은 넓이의 정사각형
√π 를 그릴 수 있으려면 π 를 그릴 수 있어야 합니다.
π 를 어림해 보기
고대 그리스인들은 이를 원적 문제(Squaring the circle)라 부르며 2천 년 동안 매달렸습니다.
반지름이 1인 원의 넓이는 이므로, 넓이가 같은 정사각형의 한 변 길이는 가 되어야 합니다. 즉 자와 컴퍼스로 원을 사각형으로 만들 수 있는가는 라는 길이를 작도할 수 있는가와 완전히 같은 물음입니다.
π 는 초월수입니다
π 는 어떤 차수의 방정식으로도 못 잡습니다 — 초월수입니다 (린데만, 1882).
작도 가능성
작도 가능한 수는 유리수에서 출발하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 연산만을 유한 번 거쳐 얻어지는 대수적 수(Algebraic number)여야 합니다.
1882년 독일 수학자 페르디난트 폰 린데만은 가 어떤 유리수 계수 다항방정식의 해도 될 수 없는 초월수(Transcendental number)임을 증명했습니다. 따라서 역시 초월수이므로 원적 문제는 작도 불가능함이 최종 확정되었습니다.
아주 가깝게는 됩니다
가깝게 그리는 것은 되고, 정확히는 안 됩니다.
린데만의 증명
린데만의 증명은 오일러 공식 과 에르미트의 초월성 증명을 발전시킨 린데만-바이어슈트라스 정리(Lindemann-Weierstrass theorem)에 기초합니다.
이로써 2천 년을 끌어온 그리스 3대 작도 문제가 대수학에 의해 영구히 종결되었으며, 초월수론과 디오판토스 근사 이론이라는 방대한 수학의 새 영토가 열렸습니다.
다른 곡선으로는
「불가능」의 뜻을 정확히 아는 것이 중요합니다.
풀어 보기
원의 구적과 작도 불가능성. 반지름이 인 원과 넓이가 같은 정사각형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 이 정사각형의 한 변의 길이를 를 사용하여 나타내시오.
(2) 어떤 수가 유리수 계수 다항방정식의 근이 되지 못할 때 이 수를 무엇이라 부르는지 쓰시오.
(3) 린데만이 증명한 의 대수적 성질과 원적 문제의 작도 불가능성의 인과관계를 서술하시오.
(1) , (2) 초월수(Transcendental number)입니다.
답과 풀이 보기
(1) 한 변은 입니다.
원의 넓이가 이므로 .
(2) 초월수라 합니다.
유리수를 계수로 하는 어떤 다항방정식의 근도 될 수 없는 수입니다.
· 는 의 근이라 대수적 수입니다
· 와 는 그런 방정식이 아예 없습니다
(3) 세 걸음으로 이어집니다.
① 1882 년 린데만이 가 초월수임을 증명했습니다.
② 그러면 도 초월수입니다 — 만약 가 대수적이라면 그것을 제곱한 도 대수적이어야 하는데 모순이니까요.
③ 그런데 자와 컴퍼스로 작도되는 수는 모두 대수적이고, 게다가 차수가 이어야 합니다.
⇨ 는 대수적이지도 않으므로 작도할 수 없고, 따라서 원적 문제는 영원히 풀리지 않습니다.
2,000 년 넘게 사람들은 「아직 방법을 못 찾았다」고 믿었습니다.
린데만이 증명한 것은 「방법이 없다」였습니다. 영어에서 squaring the circle 은 지금도 「불가능한 일」을 뜻합니다.
⭐ 재미있는 것은 — 이 문제를 끝낸 것이 기하학이 아니라 수의 성질이었다는 점입니다. 자와 컴퍼스 이야기를 수의 이야기로 옮기는 순간 답이 나왔습니다.
더 멀리
「어떤 수인가」가 「무엇을 할 수 있는가」를 정합니다.
- 초월수 — π 와 e 가 대표입니다. 대부분의 실수가 초월수입니다
- 각의 삼등분·정육면체 배적 — 같은 이유로 불가능합니다
- 주의 — 지금도 「원적문제를 풀었다」는 주장이 나옵니다. 근사값과 정확한 작도는 다릅니다
이어지는 장
원을 부채꼴로 잘게 쪼개 직사각형으로 펼치면 넓이가 왜 인지 직관적으로 보이지만, 자와 컴퍼스만으로 같은 넓이의 정사각형을 작도하는 일은 영원히 불가능합니다 — 제63장 의 직관과 대수학의 엄밀한 벽을 비교해 보세요.
영감을 받은 곳
페르디난트 폰 린데만(Ferdinand von Lindemann)이 1882년 《수학연보》(Mathematische Annalen)에 발표한 논문 「Über die Zahl π」에서 가 대수적 방정식의 근이 될 수 없는 초월수임을 증명하며 2천 년의 원적문제를 종결지었습니다.