페르마의 마지막 정리
세제곱 둘을 더해 세제곱 만들기
작은 주사위 블록을 모아 보세요. 이므로 9개짜리 판과 16개짜리 판을 합치면 25개짜리 정사각형 판이 딱 맞게 만들어집니다.
이번에는 입체 정육면체 블록으로 해 보세요. 개와 개를 합치면 91개인데, 어떤 정육면체도 되지 않습니다. 자연수를 아무리 크게 키워도 정육면체 둘을 합쳐 새 정육면체를 만들 수는 없을까요?
이야기
H. Loeffel
Public domain · 위키미디어 공용
1993년 6월, 케임브리지. 앤드루 와일스가 사흘에 걸친 강연 마지막에 칠판에 이 식을 적고 말했습니다. 「여기서 멈추겠습니다.」 그는 7년 동안 다락방에서 혼자 이 일을 해 왔고, 아무에게도 말하지 않았습니다.
그런데 두 달 뒤 증명에 구멍이 발견됐습니다. 세계가 지켜보는 가운데 그는 다시 방으로 들어가 일 년을 더 매달렸습니다. 1994년 9월, 제자 리처드 테일러와 함께 구멍을 메웁니다.
🚩 페르마가 정말 증명을 갖고 있었을 리는 없습니다. 와일스의 증명은 20세기에 만들어진 수학 없이는 한 줄도 쓸 수 없기 때문입니다. 그 여백의 한 줄은 아마 착각이었을 것입니다.
어떻게 풀었을까요. 와일스가 직접 공격한 것은 페르마의 식이 아닙니다. 전혀 다른 물음이었습니다. 「타원곡선이라는 도형은 모두 모듈러 형식이라는 함수로 적히는가.」
앞서 다른 학자들이 「페르마의 식에 답이 있다면 모듈러가 아닌 타원곡선이 만들어진다」는 것을 보여 두었기 때문입니다. 그러니 「모두 모듈러다」를 증명하면 페르마의 답은 있을 수가 없게 됩니다.
정리 자체의 쓰임보다 증명하는 과정에서 만들어진 도구가 값집니다.
와일스가 쓴 타원곡선과 모듈러 형식의 연결이, 지금 비트코인과 휴대전화가 쓰는 타원곡선 암호의 이론적 바탕과 같은 뿌리입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
3²+4²=5² 는 되는데 세제곱은?
1부터 10까지 세제곱수를 적어 보세요. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 입니다.
이 중에서 두 개를 골라 더해서 다른 세제곱수가 되는 짝이 있는지 찾아보세요. 아무리 더해 봐도 1이나 2 차이로 아깝게 빗나갑니다. 300년이 넘도록 수많은 수학자가 찾았지만 단 하나도 없었습니다.
세제곱으로는 안 됩니다
페르마가 「여백이 좁아 못 적는다」 고 쓴 그 문제입니다.
작은 수로 찾아보기
페르마는 책 여백에 일 때 을 만족하는 양의 정수해 가 존재하지 않는다고 적었습니다.
일 때는 페르마 자신이 무한하강법(Infinite descent)으로 증명했습니다. 만약 해가 존재한다면 그보다 더 작은 정수해가 반드시 존재해야 하므로 모순이 생기는 탁월한 논증입니다.
지수를 올려 보세요
3 이상에서는 영원히 안 나옵니다 — 와일즈가 1994년에 증명했습니다.
왜 어려운가
오일러는 인 경우를 허수 단위 을 포함하는 복소수환에서 인수분해하여 증명하려 했습니다.
그러나 일반적인 대수적 정수환에서는 소인수분해의 유일성(Unique factorization)이 깨집니다. 쿰머(Kummer)는 이를 복구하기 위해 아이디얼(Ideal) 이론을 창안하여 정칙 소수에 대해 정리를 증명하며 현대 대수학의 문을 열었습니다.
얼마나 가까이 갈 수 있나
이렇게 아슬아슬하게 빗나갑니다.
타원곡선·모듈러성
1994년 앤드루 와일스(Andrew Wiles)는 프레이(Frey)의 타원곡선과 리벳(Ribet)의 정리를 결합하여 타니야마-시무라 추측(모듈러성 정리)의 준안정 타원곡선 경우를 증명함으로써 페르마의 마지막 정리를 완결했습니다.
정수론과 보형 형식(Automorphic forms), 갈루아 표현론이 하나로 융합된 현대 수학의 최고봉입니다.
타원곡선으로 풀었습니다
그런 곡선이 있을 수 없음을 와일즈가 보여 페르마가 증명됐습니다.
풀어 보기
지수 3과 4에서의 페르마 방정식. 다음 물음에 답하시오.
(1) 임을 이용하여, 임을 확인하시오.
(2) 이 성립함을 직접 계산하여 보이시오.
(3) (2) 의 등식이 왜 페르마의 마지막 정리()의 반례가 되지 않는지 설명하시오.
(3) 은 페르마의 마지막 정리가 '몇 개의 거듭제곱을 더하는 식'인지 문장의 조건을 다시 읽어 보세요.
답과 풀이 보기
(1) 이고 — 같습니다.
⭐ 세제곱을 더했는데 제곱이 나옵니다. 우연이 아니라 이 늘 성립합니다.
(2) — 성립합니다.
3, 4, 5 는 피타고라스 수인데 세제곱에서도 6 을 만들어 냅니다.
(3) 페르마의 마지막 정리는 — 세제곱 두 개를 더해 세제곱이 되는 경우가 없다는 말입니다.
그런데 (2) 는 세제곱 세 개를 더했습니다. 조건이 다릅니다.
⛔ 반례가 되려면 꼴이어야 하는데, 실제로 그런 자연수는 하나도 없습니다 (1994 년 와일즈가 증명).
문장 하나를 잘못 읽으면 350 년 난제를 풀었다고 착각하게 됩니다. 수학에서 몇 개를 더하는가는 사소한 말이 아니라 문제 그 자체입니다.
덧붙이면 처럼 세 개짜리는 얼마든지 있습니다. 오일러는 네제곱 셋으로도 안 된다고 추측했지만, 1988 년에 반례가 나왔습니다. 그러므로 정리를 읽을 때는 「몇 개를 더하는가」를 반드시 먼저 확인해야 합니다.
더 멀리
한 줄의 여백이 수학 전체를 밀어 올렸습니다.
- 대수적 정수론 — 이 문제를 풀려는 시도에서 자라난 분야입니다
- 타원곡선 — 와일스의 증명에 쓰인 도구가 오늘날 암호에도 쓰입니다
- 작은 확인 — 세제곱수를 표로 만들어 더해 보면 정말 안 맞습니다
이어지는 장
제곱의 합이 제곱이 되는 직각삼각형의 수는 무한하지만, 지수가 3 이상으로 올라가는 순간 정수해는 거짓말처럼 사라집니다 — 제86장 과 나란히 놓으면 그 경계가 선명해집니다.
영감을 받은 곳
피에르 드 페르마가 1637년 디오판토스의 『산학(Arithmetica)』 여백에 남긴 메모에서 시작되어, 앤드루 와일스(Andrew Wiles)가 1995년 수학연보(Annals of Mathematics)에 발표한 논문 「Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem」으로 완결되었습니다.