함께 커진다고 정비례가 아니다
둘이 함께 커진다고 정비례가 아닙니다
자전거를 거꾸로 세워 놓고 페달을 한 바퀴 돌려 보십시오. 뒷바퀴는 한 바퀴보다 훨씬 많이 돕니다.
앞 톱니가 48개, 뒤 톱니가 16개라면 뒷바퀴는 정확히 세 바퀴 돕니다. 48 × 1 = 16 × 3. 뒤 톱니를 더 작게 하면 더 많이 돕니다 — 톱니가 줄수록 회전이 늡니다. 이것이 반비례입니다.
그런데 한 가지 조심할 것이 있습니다. 둘이 함께 커진다고 해서 정비례인 것은 아닙니다. 이 한 가지를 알아내는 데 케플러는 스무 해를 썼습니다.
이야기
August Köhler
Public domain · 위키미디어 공용
1600년, 스물여덟의 요하네스 케플러는 덴마크의 천문학자 튀코 브라헤의 조수가 됩니다. 튀코는 망원경 없이 눈으로만 20년 동안 행성의 자리를 재어 적어 둔 사람이었습니다. 이듬해 튀코가 죽고, 그 관측 자료가 케플러에게 남습니다.
케플러가 풀고 싶었던 물음은 단순했습니다. 「행성은 태양에서 멀수록 느리게 돈다. 그런데 얼마나 느린가?」
수성은 88일 만에 태양을 한 바퀴 돕니다. 지구는 365일. 목성은 열두 해 가까이 걸립니다. 멀수록 오래 걸리는 것은 분명했습니다. 그렇다면 거리가 두 배면 주기도 두 배일까요?
아니었습니다. 지구보다 다섯 배 남짓 먼 목성은 다섯 배가 아니라 열두 배 가까운 시간이 걸립니다. 거리의 제곱에 비례할까요? 그것도 아니었습니다. 스물다섯 배가 아니라 열두 배입니다. 정비례도, 제곱도 아닌 그 사이 어디였습니다.
케플러는 이 사이를 더듬는 데 스무 해를 씁니다. 그리고 1618년 5월 15일, 마침내 답을 적습니다.
주기를 제곱한 것이 거리를 세제곱한 것에 비례한다. T² 과 a³ — 이 둘이 정비례였습니다.
케플러는 이것을 『세계의 조화』에 싣고 이렇게 덧붙였습니다. 「주사위는 던져졌다. 내 책은 지금 읽히든 백 년 뒤에 읽히든 상관없다. 신도 관찰자를 육천 년이나 기다리셨으니.」
여기서 배울 것은 답 자체가 아닙니다. 둘이 함께 커지는 것을 보고 「정비례겠지」 하고 넘어가면 그 자리에서 끝이라는 것입니다. 케플러는 넘어가지 않았습니다. 그래서 70년 뒤 뉴턴이 이 식 하나에서 만유인력의 법칙을 끌어낼 수 있었습니다.
자전거 기어와 변속기, 지렛대, 압력과 부피(공기를 누르면 줄어드는 것), 같은 일을 나눠 맡을 때 걸리는 시간, 환율, 축척, 화면의 밝기와 거리 — 여기 있는 것이 전부 정비례 아니면 반비례입니다.
그리고 과학에서 새 법칙을 찾는 일은 거의 언제나 「이 둘이 어떤 비례인가」를 묻는 일에서 시작합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
톱니 수와 바퀴 도는 수를 곱해 본다 — 늘 같은 수
톱니바퀴를 세어 봅니다. 톱니 24개짜리 바퀴와 톱니 8개짜리 바퀴를 맞물립니다. 큰 바퀴가 한 바퀴 돌면 작은 바퀴는 몇 바퀴 돌까요? 톱니가 24개 지나갔으니 작은 바퀴는 24 ÷ 8 = 세 바퀴입니다.
표로 적어 보십시오.
| 톱니 수 | 24 | 12 | 8 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| 도는 수 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 곱한 값 | 24 | 24 | 24 | 24 |
하나가 줄면 다른 하나가 늘어, 곱한 값이 늘 같습니다. 이것이 반비례입니다.
반대로 걸음 수와 걸어간 거리는 어떨까요? 두 배 걸으면 두 배 갑니다. 이쪽은 나눈 값(한 걸음의 길이)이 늘 같습니다. 이것이 정비례입니다.
⭐ 가르는 법은 하나뿐입니다 — 곱해 보고, 나눠 보십시오.
y=ax 는 원점을 지나는 직선 · y=a/x 는 축에 닿지 않는 곡선
두 양 x 와 y 를 좌표평면에 찍어 봅니다.
정비례 y = ax 는 원점을 지나는 직선입니다. a 를 비례상수라 하고, 점 하나만 알면 바로 구합니다 — x = 3 일 때 y = 12 라면 a = 12 ÷ 3 = 4, 곧 y = 4x 입니다.
반비례 y = a/x 는 두 갈래로 갈라진 곡선(쌍곡선)입니다. 역시 점 하나로 정해집니다 — x = 3 일 때 y = 12 라면 a = 3 × 12 = 36, 곧 y = 36/x 입니다.
⭐ 반비례 그래프는 x축에도 y축에도 절대 닿지 않습니다. x 가 아무리 커져도 y = a/x 는 0 보다 큽니다. x = 0 은 아예 넣을 수 없습니다(0 으로 나눌 수 없으니까요). 가까워지기만 하고 만나지는 않는 것 — 이 이야기는 제12장 와 제118장 에서 다시 만납니다.
⚠️ 흔한 함정 : y = 2x + 3 은 정비례가 아닙니다. x 가 두 배가 되어도 y 는 두 배가 되지 않습니다(x=1 이면 5, x=2 면 7). 원점을 지나야 정비례입니다.
정비례는 일차함수의 b=0 인 꼴 · 반비례는 xy=a
정비례 y = ax 는 일차함수 y = ax + b 에서 b = 0 인 꼴입니다. 그래서 정비례 그래프만 원점을 지납니다.
반비례 y = a/x 는 xy = a 로 적는 편이 낫습니다. 이렇게 적으면 x 와 y 가 대등하게 보이고, 이 곡선이 직각쌍곡선이라는 것도 드러납니다.
⭐ 로그를 취하면 둘 다 직선이 됩니다.
정비례 : log y = log a + log x → 기울기 1
반비례 : log y = log a − log x → 기울기 −1
그러면 케플러의 T² ∝ a³ 은 어떻게 보일까요? 2 log T = 3 log a 이니 log T = (3/2) log a — 기울기 3/2 의 직선입니다. 다섯 행성을 로그 눈금 위에 찍으면 한 줄로 늘어섭니다.
| 행성 | 주기 T (년) | 거리 a (AU) | T² | a³ |
|---|---|---|---|---|
| 수성 | 0.2408 | 0.3871 | 0.0580 | 0.0580 |
| 금성 | 0.6152 | 0.7233 | 0.3785 | 0.3784 |
| 지구 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
| 화성 | 1.8808 | 1.5237 | 3.5374 | 3.5375 |
| 목성 | 11.862 | 5.2044 | 140.71 | 140.97 |
T² 과 a³ 이 0.2% 안에서 같습니다. 망원경도 없이 눈으로 잰 값에서 이것을 찾아냈습니다.
멱법칙과 차원 — 로그를 취하면 전부 직선이 된다
정비례와 반비례는 멱법칙 y = a·xk 의 k = 1 과 k = −1 인 두 경우입니다. 케플러의 법칙은 k = 3/2 입니다.
자연에는 k 가 온갖 값인 관계가 있습니다 — 빛과 중력은 거리의 −2 제곱(역제곱 법칙), 동물의 대사량은 몸무게의 3/4 제곱(클라이버 법칙), 도시의 인구 순위와 크기는 −1 제곱에 가깝습니다(지프의 법칙).
⭐ 차원해석은 k 를 실험 전에 짐작하게 해 줍니다. 양쪽의 단위가 맞아야 하므로 k 가 아무 값이나 될 수 없기 때문입니다. 뉴턴은 케플러의 3/2 에서 거꾸로 걸어 들어가 힘이 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 끌어냅니다.
그리고 로그–로그 종이 위에서는 이 모든 것이 직선입니다. 기울기 하나가 곧 k 입니다. 그래서 오늘날 과학자가 새 자료를 받으면 가장 먼저 하는 일 가운데 하나가 로그를 취해 그려 보는 것입니다.
풀어 보기
정비례인가 반비례인가.
(1) 톱니 24개인 바퀴가 3바퀴 돌 때, 맞물린 톱니 18개인 바퀴는 몇 바퀴 돕니까?
(2) y 가 x 에 반비례하고, x = 4 일 때 y = 6 입니다. x = 3 일 때 y 는 얼마입니까?
(3) 다음 가운데 정비례인 것을 모두 고르십시오.
㉠ 정삼각형의 한 변과 둘레 ㉡ 정사각형의 한 변과 넓이
㉢ 넓이가 12인 직사각형의 가로와 세로 ㉣ 시속 60km 로 갈 때 시간과 거리
(4) 목성의 공전 주기는 약 11.86년입니다. 케플러의 법칙 T² = a³ 으로 태양까지의 거리 a 를 구하십시오. (단위 AU)
답과 풀이 보기
(1) 4바퀴.
맞물린 톱니는 같은 수만큼 지나갑니다. 24 × 3 = 72개가 지나갔으니, 18 × x = 72 ⇒ x = 4.
⭐ 톱니 수와 회전수는 곱이 일정합니다 — 반비례입니다.
(2) y = 8.
반비례이므로 xy 가 일정합니다. a = 4 × 6 = 24.
x = 3 이면 y = 24 ÷ 3 = 8.
⚠️ 「x 가 1 줄었으니 y 도 1 는다」가 아닙니다. 그것은 반비례가 아닙니다.
(3) ㉠ 과 ㉣.
㉠ 둘레 = 3 × 한 변 → y = 3x. 정비례.
㉡ 넓이 = (한 변)² → y = x². 함께 커지지만 정비례가 아닙니다 — 한 변이 2배면 넓이는 4배입니다. 바로 케플러가 걸렸던 자리입니다.
㉢ 가로 × 세로 = 12 → 반비례.
㉣ 거리 = 60 × 시간 → y = 60x. 정비례.
(4) 약 5.20 AU.
T² = 11.86² = 140.66. a³ = 140.66 이므로 a = 140.66 의 세제곱근 = 5.20.
실제 목성의 평균 거리는 5.204 AU — 어긋남이 0.1% 안쪽입니다.
⭐ 주기 하나만 재면 가 보지 않고도 거리를 알 수 있습니다. 이것이 정비례 관계를 하나 찾아 두었을 때 생기는 힘입니다.
더 멀리
「어떤 비례인가」를 묻는 일이 과학을 밀어 왔습니다.
- 뉴턴(1687) — 케플러의 T² ∝ a³ 을 거꾸로 풀어 중력이 거리의 제곱에 반비례함을 보였습니다
- 보일(1662) — 공기를 누르면 부피가 준다. 압력 × 부피 = 일정. 사람이 실험으로 확인한 이른 반비례입니다
- 역제곱 법칙 — 전구에서 두 배 멀어지면 밝기는 1/4. 소리도 전파도 같습니다. 빛이 퍼지는 공 껍질의 넓이가 반지름의 제곱에 비례하기 때문입니다
- 외계 행성 찾기 — 오늘날에도 별빛이 살짝 어두워지는 주기를 재어 케플러의 법칙으로 그 행성의 거리를 구합니다. 400년 된 식이 그대로 쓰입니다
이어지는 장
「가까워지기만 하고 닿지 않는」 이야기는 제12장 와 제115장 에서 더 멀리 가고, 아무리 잘게 쪼개도 못 넘는 값이 있다는 것은 제118장 에 있습니다.
비 하나로 우주를 잰 가장 이른 이야기가 제11장 입니다 — 그림자 길이의 비만으로 지구 둘레를 알아냈습니다. 비를 눈으로 보는 것은 제83장 과 이웃입니다.
⚠️ 헷갈리기 쉬운 이웃 둘 — 제80장 의 반감기와 제22장 의 종이 접기는 정비례도 반비례도 아닙니다. 한 걸음마다 곱해지는 것이라 훨씬 빠르게 늘거나 줄어듭니다. 「함께 커진다고 정비례가 아니다」의 또 다른 얼굴입니다.
한 점에서의 기울기로 옮겨 가면 제155장 입니다.
영감을 받은 곳
요하네스 케플러 『세계의 조화』(1619) 제5권에 제3법칙이 실려 있고, 케플러 자신이 1618년 5월 15일에 찾았다고 적었습니다. 「주사위는 던져졌다」로 시작하는 대목도 같은 책에 있습니다.
⭐ 표의 주기·거리 값은 널리 쓰이는 공개 값이며, T² 과 a³ 이 0.2% 안에서 맞는 것을 이 책을 만들며 다시 계산해 확인했습니다. 토성은 제가 가진 두 값이 서로 1.4% 어긋나 싣지 않았습니다 — 확실하지 않은 수는 담지 않습니다.
자전거 톱니·지렛대 이야기와 계단·문항은 이 책을 위해 새로 지었습니다.