거울은 가장 짧은 길을 안다

모눈종이에 그려 봅니다. 강이 가로로 흐릅니다. 우리 집 A 는 강에서 3칸 위, 친구네 집 B 는 강에서 5칸 위에 있고, 두 집은 가로로 8칸 떨어져 있습니다.

이제 B 를 강 건너편으로 옮겨 그립니다. 강에서 5칸 아래입니다. 이 점을 B′ 이라 부릅시다. 거울에 비친 모습처럼 말이지요.

A 에서 B′ 까지 자를 대고 곧게 선을 긋습니다. 그 선이 강을 지나가는 자리가 바로 들러야 할 곳입니다. A 쪽에서 가로로 3칸 간 자리입니다.

왜 3칸일까요? A 는 3칸 위, B′ 은 5칸 아래이니 8칸을 3 대 5로 나누는 자리에서 강을 지납니다.

한 칸만 옆으로 가도 길이 길어집니다. ⭐ 강 쪽으로 접었다 펴 보는 것, 이것이 대칭이동입니다.

왜 곧은 선이 가장 짧을까요?

강가의 아무 점을 P 라 합시다. B 와 B′ 은 강을 사이에 두고 꼭 같은 거리에 있으니 PB = PB′ 입니다. 그래서 A → P → B 로 가는 길이는 A → P → B′ 로 가는 길이와 같습니다.

그런데 삼각형에서 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변보다 길다는 것을 배웠습니다. AP + PB′ 은 AB′ 보다 길거나 같고, P 가 선분 AB′ 위에 있을 때만 같습니다. 그래서 가장 짧은 길은 P 가 선분 AB′ 위에 놓일 때입니다.

⭐ 이때 맞꼭지각이 같고 접은 모양이 합동이므로, 들어간 각과 튀어나온 각이 같아집니다. 헤론이 풀어낸 「왜 같은 각인가」의 답이 이것입니다.

⚠️ 두 집이 강의 서로 다른 쪽에 있으면 비출 필요가 없습니다. 그냥 곧게 이으면 됩니다. 비춰 보기는 같은 쪽에 있을 때 쓰는 방법입니다.

좌표평면에서는 이 「비춰 보기」가 대칭이동입니다.

점 (a, b) 를 x축에 대칭이동하면 (a, −b), y축이면 (−a, b), 원점이면 (−a, −b), 직선 y = x 이면 (b, a) — 두 좌표가 자리를 바꿉니다.

예. A(1, 3), B(3, 7) 이 있고 P 가 직선 y = x 위를 움직일 때 AP + PB 의 최솟값은? 두 점 모두 y = x 의 위쪽, 같은 쪽에 있습니다. B 를 y = x 에 대칭이동하면 B′(7, 3). AB′ 은 가로로 곧게 6 이므로 최솟값은 6, 그때 P 는 직선 y = 3 과 y = x 가 만나는 (3, 3) 입니다.

⭐ 평행이동으로 푸는 짝꿍 문제도 있습니다. 폭이 2 인 강(0 ≤ y ≤ 2)에 강과 수직으로 다리를 놓아 A(0, −3) 에서 B(6, 5) 로 갑니다. 다리 길이 2 는 어디에 놓든 같으니, B 를 다리 길이만큼 아래로 평행이동해 B′(6, 3) 을 만들고 A 와 곧게 잇습니다. 그 선이 강가 y = 0 과 만나는 x = 3 에 다리를 놓으면 가장 짧고, 그 길이는 6√2 + 2 입니다.

대칭이동은 꺾인 길을 펴고, 평행이동은 고정된 길이를 빼낸다 — 둘 다 「도형을 옮겨 곧은 선으로 만든다」는 같은 생각입니다.

1662년 페르마는 헤론의 「가장 짧은 길」을 「가장 빠른 길」로 고칩니다. 공기와 물처럼 빛의 빠르기가 다른 곳을 지날 때는 짧은 길보다 빠른 길이 따로 있기 때문입니다. 이렇게 하면 빛이 물에 들어가며 꺾이는 것(굴절)까지 한 원리로 풀립니다.

반사를 여러 번 하는 길도 같은 방법으로 폅니다. 당구대를 쿠션마다 계속 뒤집어 붙여 나가면, 여러 번 튕기는 공의 길이 한 줄의 곧은 선이 됩니다.

⭐ 「자연은 무엇인가를 가장 작게 만드는 길을 고른다」는 생각은 뒤에 변분법과 최소 작용의 원리로 자라, 오늘날 물리학의 뼈대가 되었습니다.