곱셈공식은 정사각형 네 조각이다

모눈종이와 색연필, 그리고 자를 책상 위에 올려놓습니다. 모눈종이 위에 가로 10칸, 세로 10칸인 커다란 정사각형 하나를 반듯하게 그리면, 전체 모눈의 칸수는 모두 개가 됩니다.

이제 이 10칸을 7칸과 3칸으로 나누어 봅니다. 정사각형의 왼쪽 모서리에서 오른쪽으로 7칸 떨어진 자리에 위아래로 세로선을 하나 긋습니다. 그리고 위쪽 모서리에서 아래쪽으로 7칸 떨어진 자리에 양옆으로 가로선을 하나 긋습니다. 두 선이 지나가면서 커다란 정사각형은 순식간에 네 개의 조각으로 나뉩니다.

네 조각의 칸수를 하나씩 세어 봅니다.
왼쪽 위 조각은 가로 7칸, 세로 7칸인 정사각형이므로 칸수는 개입니다.
오른쪽 위 조각은 가로 3칸, 세로 7칸인 직사각형이므로 칸수는 개입니다.
왼쪽 아래 조각은 가로 7칸, 세로 3칸인 직사각형이므로 칸수는 개입니다.
오른쪽 아래 조각은 가로 3칸, 세로 3칸인 정사각형이므로 칸수는 개입니다.

오른쪽 위와 왼쪽 아래 조각을 가위로 오려 비교해 보면, 가로와 세로의 길이가 서로 뒤바뀌어 있을 뿐 넓이가 21칸으로 완전히 똑같습니다. 살짝 90도 돌려 올려놓으면 두 직사각형은 빈틈없이 겹쳐집니다.

이제 네 조각의 칸수를 모두 더해 봅니다.

조각들의 칸수를 전부 합하니 처음 그렸던 커다란 정사각형의 칸수 100칸과 빈틈없이 들어맞습니다.

다른 크기의 정사각형으로 해 보아도 결과는 늘 같습니다. 한 변이 12칸인 정사각형을 8칸과 4칸으로 나누거나, 한 변이 5칸인 정사각형을 3칸과 2칸으로 나누어도 네 조각의 넓이의 합은 항상 전체 넓이와 같습니다.

큰 정사각형의 칸 수는 «왼쪽 위 조각 + 오른쪽 아래 조각 + 직사각형 두 조각» 의 칸 수를 더한 것과 언제나 같습니다.

초등학교에서 모눈종이로 확인한 네 조각의 넓이를 중학교에서는 문자로 바꾸어 식으로 나타냅니다. 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이는 다음과 같이 네 조각의 넓이의 합으로 전개됩니다.

왼쪽 위의 정사각형 넓이 과 오른쪽 아래의 정사각형 넓이 , 그리고 넓이가 로 서로 같은 직사각형 두 개를 더한 것입니다. 여기서 자리에 를 넣으면 빼기의 곱셈공식도 곧바로 얻어집니다.

중학교 3학년에서는 이 두 공식에 더해 모두 네 가지 곱셈공식을 배웁니다. 합과 차의 곱인 을 거꾸로 읽는 이야기는 제168장에서 다룹니다. 그리고 일차식의 곱을 전개하는 공식인 도 직사각형을 네 조각으로 나눈 넓이에서 비롯됩니다.

이 공식을 쓰면 복잡한 다항식도 손쉽게 펼쳐 낼 수 있습니다.

곱셈공식은 손으로 풀기 버거운 수의 제곱을 머릿속으로 암산할 때도 강력한 힘을 발휘합니다.

기준이 되는 수의 제곱에서 두 조각의 넓이를 더하거나 빼고 모퉁이의 작은 조각을 더해 주면, 길고 지루한 곱셈 없이도 단 몇 초 만에 정확한 값을 구할 수 있습니다.

고등학교에 올라가면 2차원 평면의 정사각형을 3차원 입체인 정육면체로 넓혀 바라봅니다. 한 변의 길이가 인 커다란 정육면체를 가로, 세로, 높이의 세 방향으로 한 번씩 자르면 몇 덩이가 나올까요?

가로로 2조각, 세로로 2조각, 높이로 2조각으로 나뉘므로 모두 개의 입체 조각이 만들어집니다. 이 여덟 덩이의 부피를 모두 더한 것이 바로 삼차식의 곱셈공식입니다.

한 변이 인 정육면체 1개(), 밑면이 이고 높이가 인 기둥 3개(), 밑면이 이고 높이가 인 기둥 3개(), 그리고 한 변이 인 작은 정육면체 1개()로 이루어집니다. 조각들의 개수를 나타내는 계수 1, 3, 3, 1 은 제44장에서 만나는 파스칼 삼각형의 넷째 줄과 정확히 일치합니다.

이 공식에 수를 대입하면 큰 수의 세제곱도 깔끔하게 쪼개집니다.

한편 한 변을 세 토막 로 나눈 커다란 정사각형의 넓이는 모두 9개의 조각으로 쪼개집니다. 이를 정리하면 다음과 같이 여섯 종류의 항으로 이루어진 공식이 나타납니다.

예를 들어 , , 을 넣으면 좌변은 이 됩니다. 우변을 계산하면 세 정사각형의 합 와 직사각형들의 합 가 되어, 으로 양변이 정확히 들어맞습니다. 평면의 나눔을 한 번 더 쪼개거나 공간으로 높여도, 전체는 부분의 합이라는 단순한 진리가 그대로 이어집니다.

대학 수학에서는 거듭제곱을 임의의 차원으로 넓히는 이항정리를 다룹니다. 을 전개할 때 나타나는 계수는 제44장의 파스칼 삼각형과 맞물려 조합의 원리로 이어집니다.

현대 컴퓨터 과학에서는 곱셈공식을 응용해 거대한 수의 곱셈 속도를 끌어올렸는데, 이는 교과서 밖의 이야기입니다. 보통 두 수를 쪼개 곱하려면 네 번의 곱셈이 필요합니다. 그런데 1960년 카라추바는 곱셈 횟수를 세 번으로 줄이는 알고리즘을 발견했다고 전해집니다.

예를 들어 을 계산할 때, 두 수를 12와 34, 56과 78로 반씩 쪼갭니다. 앞쪽의 곱 와 뒤쪽의 곱 를 구하고, 앞뒤를 더한 수끼리의 곱 에서 두 값을 빼 가운데 항 을 얻습니다.

곱셈 세 번으로 얻은 조각들을 자릿수에 맞추어 로 더하면 이 완성됩니다. 곱셈을 조각으로 쪼개어 따로 구한 뒤 합친다는 점에서, 정사각형을 네 조각으로 나누던 생각과 닮았습니다.